6. Группа Лоренца.

В п. 1 § 4 гл. 8 мы ввели понятие псевдоевклидова пространства т. е. линейного пространства, в котором задано скалярное произведение равное невырожденной симметричной билинейной форме полярной знакопеременной квадратичной форме

В п. 2 § 4 гл. 8 было отмечено, что в так называемой галилеевой системе координат квадрат интервала

(так обычно называется квадрат длины вектора х с координатами имеет вид

Введем понятие преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства

Определение. Линейное преобразование Р псевдоевклидова пространства называется преобразованием Лоренца, если для любых х и у из справедливо соотношение

где — скалярное произведение, определенное соотношением (9.21).

Равенство (9.24) называется условием лоренцовости преобразования.

Отметим, что при преобразовании Лоренца сохраняется квадрат интервала определенный соотношением (9.22) (или 9.23)).

Так же как в этого параграфа, можно доказать, что определитель преобразования Лоренца отличен от нуля, и поэтому для каждого преобразования Лоренца Р существует обратное преобразование .

Кроме того, по самому смыслу определения преобразования Лоренца, произведение таких преобразований дает в результате преобразование Лоренца. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Множество всех преобразований Лоренца псевдоевклидова пространства с обычной операцией умножения линейных преобразований (линейных операторов) образует группу, называемую общей группой Лоренца псевдоевклидова пространства и обозначаемую символом

Мы выделим специальный класс псевдоевклидовых пространств (сюда включается интересное с физической точки зрения пространство ).

Группа Лоренца для пространств обозначается через L(n).

В п. 1 § 4 гл. 8 (формула было введено понятие длины а вектора х, которая вычисляется по формуле

С помощью этой формулы все ненулевые векторы псевдоевклидова пространства разделяются на времениподобные пространственноподобиые и изотропные Было доказано, что множество концов времениподобных (пространственноподобных, изотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой, образует конус Т (конус пространственноподобных векторов обозначается буквой 5). Конус Т по соглашению разделяется на две связные компоненты Т и (конус будущего и конус прошлого) так, что каждая из этих компонент вместе с вектором х содержит любой вектор , где .

Описанное разделение векторов в псевдоевклидовом пространстве дает возможность выделить из группы Лоренца некоторые подгруппы.

Именно, подгруппа группы , преобразования которой переводят любой времениподобный вектор снова во времениподобный вектор, называется полной группой Лоренца. Для нее используется обозначение

Выделяется еще одна подгруппа группы . В эту подгруппу входят преобразования, определитель матрицы которых положителен. Эта подгруппа обозначается и называется собственной группой Лоренца.

Собственные преобразования Лоренца, которые принадлежат подгруппе также образуют подгруппу. Ее часто называют группой Лоренца и обозначают символом

В заключение этого пункта мы отметим, что группы Лоренца, в отличие от ортогональных групп, некомпактны

Для примера докажем некомпактность группы .

В п. 3 § 4 гл. 8 мы полностью описали эту группу. Напомним, что если в введена система координат так, что квадрат интервала задается формулой

то преобразования Лоренца из группы пространства задаются формулами

Рассмотрим в плоскости вектор х с координатами . По формуле (9.26) этот вектор перейдет в вектор с координатами

Обратимся теперь к последовательности преобразований Лоренца (9.26), определяемой значениями из соотношения

Согласно (9.27) и (9.28) вектор х перейдет при действии указанной последовательности преобразований Лоренца в следующую последовательность векторов с координатами

Таким образом, из бесконечной последовательности преобразований Лоренца в группе определенной соотношениями (9.26), для значений Р из равенств (9.28) нельзя выделить сходящуюся последовательность (напомним, что последовательность элементов группы называется сходящейся к элементу А, если для любого х последовательность сходится к ибо последовательность (9.29) неограниченная.

Геометрическая иллюстрация некомпактности группы заключается в следующем.

Согласно (9.25) окружность радиуса единица в псевдоевклидовой плоскости будет гиперболой являющейся некомпактным множеством. При действии рассмотренной выше последовательности преобразований из группы заданная точка на этой окружности преобразуется в бесконечно большую последовательность точек на указанной выше гиперболе, а из бесконечно большой последовательности точек нельзя выделить сходящуюся последовательность.