3. Блочные матрицы.

Предположим, что некоторая матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой блочной) матрицы элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца.

Например, матрицу

можно рассматривать как блочную матрицу элементами которой служат следующие блоки:

Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

В самом деле, элементарно проверяется, что если матрица является блочной и имеет блочные элементы то при том же разбиении на блоки матрице отвечают блочные элементы

Столь же элементарно проверяется, что если матрицы А и В имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме матриц А и В отвечает блочная матрица с

элементами (здесь - блочные элементы матриц А и В).

Пусть, наконец, две блочные матрицы такие, что число столбцов каждого блока равно числу строк блока (так что при любых определено произведение матриц Тогда произведение представляет собой матрицу с элементами определяемыми формулой

Для доказательства этой формулы достаточно расписать левую и правую ее части в терминах обычных (числовых) элементов матриц А и В (предоставляем это сделать читателю).

В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии так называемой прямой суммы квадратных матриц.

Прямой суммой двух квадратных матриц А и В порядков соответственно называется квадратная блочная матрица С порядка равная . Для обозначения прямой суммы матриц А и В используется запись

Из определения прямой суммы матриц А и В очевидно, что эта сумма, вообще говоря, не обладает перестановочным свойством. Однако элементарно проверяется справедливость сочетательного свойства: .

С помощью свойств операций над блочными матрицами легко проверяются следующие формулы, устанавливающие связь между операцией прямого суммирования и операциями обычного сложения и перемножения матриц:

(в этих формулах — произвольные квадратные матрицы порядка — произвольные квадратные матрицы порядка n). Проверку этих формул мы предоставляем читателю.