7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхности второго порядка путем преобразования ортонормированного базиса.

По теореме 7.8 существует такой ортонормированный базис, в котором квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов. Обозначим этот базис через а координаты

точки х в этом базисе обозначим через Кроме того, буквами обозначим собственные значения самосопряженного оператора А, матрица которого в ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы замечание в этого параграфа).

Используя теперь выводы теоремы 7.8, запишем квадратичную форму в координатах точки х в базисе следующим образом:

Итак, перейдем от базиса к базису Так как формулы преобразования координат точек при таком преобразовании линейны и однородны (см. замечание этого параграфа, формулы (7.75)), то группа старших членов и линейная часть уравнения гиперповерхности преобразуются автономно. На основании этого и в силу (7.97) уравнение гиперповерхности в базисе будет иметь следующий вид

Приведение любого уравнения гиперповерхности второго порядка к виду (7.98) будем называть стандартным упрощением этого уравнения (путем преобразования ортонормированного базиса).