6. Центр гиперповерхности второго порядка.

Попытаемся найти такой параллельный перенос, при котором общее уравнение (7.76) не содержало бы слагаемого (или, если обратиться к уравнению (7.82), то слагаемых

Иными словами, будем искать параллельный перенос (т. е. координаты точки при котором обратятся в нуль все коэффициенты . Обращаясь к формулам (7.84), найдем, что искомые координаты точки х представляют собой решение следующей системы линейных уравнений:

Уравнения (7.93) называются уравнениями центра гиперповерхности второго порядка, а точка х с координатами где — решение системы (7.93), называется центром этой поверхности.

Поясним наименование «центр» гиперповерхности. Пусть начало координат помещено в центр т. е. — произведен искомый параллельный перенос. Тогда уравнение поверхности примет вид

Пусть точка х с координатами расположена на Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению (7.94). Очевидно, точка с координатами симметричная с точкой х относительно точки х, также расположена на 5, ибо ее координаты тоже удовлетворяют уравнению

Таким образом, если у гиперповерхности есть центр, то относительно центра точки располагаются симметрично парами.

Замечание 1. Если гиперповерхность второго порядка имеет центр, то инварианты и свободный член в уравнении (7.94) связаны соотношением

Действительно, для уравнения (7.94) получим

Из последней формулы и вытекает (7.95).

Наличие центра у гиперповерхности второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (7.93).

Если уравнения центра имеют единственное решение, то гиперповерхность будем называть центральной.

Так как определитель системы (7.93) равен , а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является отличие от нуля ее определителя, то мы можем сделать следующий вывод: для того чтобы гиперповерхность была центральной, необходимо и достаточно, чтобы

Замечание 2. Если начало координат перенесено в центр центральной гиперповерхности то уравнение этой гиперповерхности будет иметь вид

Действительно, после переноса начала в центр уравнение гиперповерхности примет вид (7.94). Так как для центральной гиперповерхности то из формулы (7.95) найдем . Подставляя это выражение для с в формулу (7.94), мы и получим уравнение (7.96).