2. Галилеевы координаты. Преобразования Лоренца.
В теории псевдоевклидовых пространств важную роль играют те системы координат, в которых квадрат интервала (так обычно называют квадрат длины вектора 
имеет вид
По терминологии, заимствованной из физики, такие системы координат называются галилеевыми.
Преобразования координат, которые сохраняют для 
выражение (8.70), называются преобразованиями Лоренца.
В следующем пункте мы рассмотрим вопрос о преобразованиях Лоренца пространства 
называемого пространством
Минковского. Это пространство представляет особый интерес для физики, ибо является пространством событий специальной теории относительности.
Отметим, что обычно в пространстве Минковского нумерация координат вектора начинается с нуля. Таким образом, согласно (8.70), квадрат 
интервала в пространстве 
записывается следующим образом:
Для удобства в физике координата 
отождествляется с выражением 
где с — скорость света, 
— временная переменная; 
называются пространственными переменными.
В пространстве Минковского конус Т времен и подобных векторов распадается на две различные связные открытые компоненты 
(конус будущего) и 
(конус прошлого); конус 5 простран ственно подобных векторов образует связное множество.
Поясним структуру связных компонент 
Для этого обратимся к физической интерпретации вектора х с координатами 
, в пространстве 
этот вектор характеризуется величиной 
и вектором 
Таким образом, рассматривая х как перемещение в 
можно считать, что это перемещение характеризуется временным 
и пространственным 
перемещениями.
Времениподобные векторы х определяются условием 
. В этом случае, очевидно, 
. Если при этом 
то для перемещения х получим неравенство 
Такое перемещение х принадлежит по определению 
и может рассматриваться как перемещение материальной частицы «в будущее» Если 
то перемещение х принадлежит Т и может рассматриваться как перемещение частицы «в прошлое» (в физике так интерпретируется движение античастиц).
Очевидно, 
представляют собой две связные открытые компоненты конуса Т. Проведенные рассуждения поясняют их наименования — конус будущего и конус прошлого.
