4. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированиому.

Пусть ортонормированный базис преобразуется в новый ортонормированный базис по формулам (7.70) и — ортогональная матрица этого преобразования (см. (7.71)). Тогда, согласно замечанию в п. 2 этого параграфа, координаты точки в базисах связаны соотношениями (7.75). Подставляя выражение для из (7.75) в левую часть уравнения (7.66) и учитывая, что вследствие однородности соотношений (7.75) группа старших членов и линейная часть уравнения (7.66) преобразуются автономно, получим следующее выражение для общего уравнения гиперповерхности второго порядка в координатах точек в преобразованном базисе

Согласно отмеченной выше автономности преобразования группы старших членов, справедливы равенства

Обращаясь к первой из формул (7.87), мы видим, что для определения коэффициентов можно воспользоваться правилом преобразования коэффициентов квадратичной формы при переходе к новому базису. Именно, если обозначим буквой А матрицу квадратичной формы в базисе то, согласно теореме 7.2 и соотношению получим следующую связь между матрицами А и А формы в базисах

(напомним, что Р — матрица ортогонального преобразования).

Будем рассматривать теперь матрицу А как матрицу некоторого линейного оператора А в базисе а матрицу как матрицу перехода от базиса к базису Тогда, согласно теореме 5.7 (см. п. 2 § 2 гл. 5) матрицу А можно рассматривать как матрицу этого линейного оператора А в базисе

Иными словами, матрица квадратичной формы при преобразовании ортонормированного базиса в ортонормированной изменяется как матрица некоторого линейного оператора.

Этот вывод мы используем в следующем пункте.

Замечание. Отметим, что оператор А, матрица которого в ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы самосопряженный.

Для доказательства проведем следующие рассуждения.

Пусть — квадратичная форма и — симметричная билинейная форма, полярная форме Согласно теореме 7.8 билинейная форма может быть представлена в виде

где А — самосопряженный оператор.

Поэтому квадратичная форма может быть представлена в виде

Докажем, что в ортонормированном базисе матрицы оператора А и квадратичной формы совпадают. Этим будет доказано утверждение замечания.

Пусть — элементы матрицы формы — элементы матрицы оператора А в базисе Согласно п. 2 § 1 этой главы , а элементы согласно п. 1 § 2 гл. 5, формуле (5.13), могут быть найдены из равенств

Умножим обе части последнего соотношения скалярно на Тогда, учитывая ортонормированность базиса получим Так как то Утверждение замечания доказано.