2. Отыскание всех решений общей линейной системы.

Рассмотрим теперь общую систему линейных уравнений с неизвестными (3.1). Предположим, что эта система совместна и что ранг ее основной и расширенной матриц равен числу Не ограничивая общности, мы можем предположить, что базисный минор основной матрицы (3.2) находится в левом верхнем углу этой матрицы (общий случай сводится к этому случаю посредством перестановки в системе (3.1) уравнений и неизвестных).

Тогда первые строк как основной матрицы (3.2), так и расширенной матрицы (3.8) являются базисными строками этих матриц, и по теореме 1.6 о базисном миноре каждая из строк расширенной матрицы (3.8), начиная с строки, является линейной комбинацией первых строк этой матрицы.

В терминах системы (3.1) это означает, что каждое из уравнений этой системы, начиная с уравнения, является

линейной комбинацией (т. е. следствием) первых уравнений этой системы (т. е. всякое решение первых уравнений системы (3.1) обращает в тождества и все последующие уравнения этой системы).

Таким образом, достаточно найти все решения лишь первых уравнений системы (3.1). Рассмотрим первые уравнений системы (3.1), записав их в виде

Если мы придадим неизвестным совершенно произвольные значения то система (3.19) превратится в квадратную систему линейных уравнений для неизвестных причем определителем основной матрицы этой системы является отличный от нуля базисный минор матрицы (3.2). В силу результатов предыдущего пункта эта система (3.19) имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера, т. е. для произвольно выбранных существует единственная совокупность чисел обращающих в тождества все уравнения системы (3.19) и определяющихся формулами Крамера.

Чтобы записать это единственное решение, договоримся обозначать символом определитель, получающийся из базисного минора М матрицы (3.2) заменой его столбца столбцом из чисел (с сохранением без изменения всех остальных столбцов М). Тогда записывая решение системы (3.19) с помощью формул Крамера и пользуясь линейным свойством определителя, мы получим

Формулы (3.20) выражают значения неизвестных через коэффициенты при неизвестных, свободные члены и произвольно заданные параметры

Докажем, что формулы (3.20) содержат любое решение системы (3.1). В самом деле, пусть — произвольное решение указанной системы. Тогда оно является решением и системы (3.19). Но из системы (3.19) величины определяются через величины однозначно и именно по формулам Крамера (3.20). Таким образом, при

формулы (3.20) дают нам как раз рассматриваемое решение

Замечание. Если ранг основной и расширенной матриц системы (3.1) равен числу неизвестных то в этом случае соотношения (3.20) переходят в формулы

определяющие единственное решение системы (3.1). Таким образом, система (3.1) имеет единственное решение (т. е. является определенной) при условии, что ранг основной и расширенной ее матриц равен числу неизвестных (и меньше числа уравнений или равен ему).

Пример. Найдем все решения линейной системы

Нетрудно убедиться в том, что ранг как основной, так и расширенной матрицы этой системы равен двум (т. е. эта система совместна), причем можно считать, что базисный минор М стоит в левом верхнем углу основной матрицы, т. е. .

Но тогда, отбрасывая два последних уравнения и задавая произвольно мы получим систему

из которой в силу формул Крамера получаем значения

Таким образом, четыре числа

при произвольно заданных значениях образуют решение системы (3.21), причем строка (3.23) содержит все решения этой системы.