4. Дальнейшие свойства самосопряженных операторов.

В этом пункте мы докажем ряд важных свойств линейных операторов, связанных с понятием нормы. Сначала мы установим необходимое и достаточное условие самосопряженности оператора. Докажем следующую теорему.

Теорема 5.18. Для того чтобы линейный оператор А был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. По теореме 5.13 произвольный линейный оператор А может быть представлен в виде где — самосопряженные операторы. Поэтому

причем, согласно теореме 5.15, для любого х числа — вещественные. Следовательно, эти числа соответственно равны действительной и мнимой частям комплексного числа

Допустим, что А — самосопряженный оператор.

По теореме 5.15 в этом случае вещественное число, и поэтому . Необходимость условия теоремы доказана.

Докажем достаточность условия теоремы.

Пусть . Отсюда следует, что , т. е. . Поэтому , где — самосопряженный оператор. Теорема доказана.

В следующих утверждениях выясняются некоторые свойства собственных значений самосопряженных операторов.

Лемма. Любое собственное значение Я произвольного линейного самосопряженного оператора А в евклидовом пространстве равно скалярному произведению , где х — некоторый вектор, удовлетворяющий условию :

Доказательство. Так как — собственное значение оператора А, то существует такой ненулевой вектор что

Полагая (очевидно, ), перепишем (5.60) следующим образом: Отсюда получаем соотношения т. е. (5.59) имеет место. Лемма доказана.

Следствие. Пусть А — самосопряженный оператор и — любое собственное значение этого оператора. Пусть далее

Справедливы следующие неравенства.

Замечание 1. Так как скалярное произведение представляет собой непрерывную функцию от х, то на замкнутом множестве эта функция ограничена и достигает своих точных граней и М.

Замечание 2. Согласно теореме 5.16 собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Поэтому неравенства (5.62) имеют смысл.

Доказательство следствия. Так как любое собственное значение удовлетворяет соотношению (5.59), то, очевидно, каждое собственное значение заключено между точными гранями и М скалярного произведения Поэтому неравенства (5.62) справедливы.

Мы докажем, что числа и М, определенные соотношениями (5.61) являются соответственно наименьшим и наибольшим собственными значениями самосопряженного оператора А Предварительно убедимся в справедливости следующего утверждения.

Теорема 5.19. Пусть А — самосопряженный оператор и, кроме того, для любого х. Тогда равна наибольшему собственному значению этого оператора

Доказательство Мы уже отмечали (см. утверждение предыдущего пункта), что Так как то . Согласно замечанию 1 этого пункта для некоторого

Обращаясь к определению нормы и используя только что написанные равенства, получим соотношения

Таким образом, или иначе — собственное значение оператора А. То, что X — наибольшее собственное значение, вытекает из только что установленного следствия из леммы этого пункта. Теорема доказана.

Докажем теперь, что числа и М (см. (5.61)) являются наименьшим и наибольшим собственными значениями самосопряженного оператора А.

Теорема 5.20. Пусть А — самосопряженный оператор, а и М — точные грани на множестве Эти числа представляют собой наименьшее и наибольшее собственные значения оператора А.

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что числа и М — собственные значения оператора А. Тогда из неравенств (5.62) сразу же следует, что и М являются соответственно наименьшим и наибольшим собственными значениями.

Докажем сначала, что М — собственное значение. Для этого рассмотрим самосопряженный оператор . Так как

то оператор В удовлетворяет условиям теоремы 5.19 и поэтому

норма этого оператора равна наибольшему собственному значению. С другой стороны

Таким образом, — наибольшее собственное значение оператора В. Следовательно, существует такой ненулевой вектор что

Так как , то . Подставляя это выражение в левую часть равенства (5.63), получим после несложных преобразований соотношение Таким образом, М — собственное значение оператора А.

Убедимся теперь, что число также является собственным значением оператора А.

Рассмотрим самосопряженный оператор Очевидно, . Согласно только что проведенному доказательству число представляет собой собственное значение оператора В. Так как , то будет являться собственным значением оператора А. Теорема доказана.

В следующей теореме выясняется важное свойство собственных векторов самосопряженного оператора.

Теорема 5.21. У каждого самосопряженного линейного оператора А, действующего в n-мерном евклидовом пространстве V существует линейно независимых попарно ортогональных и единичных собственных векторов.

Доказательство. Пусть — максимальное собственное значение оператора Обозначим через собственный вектор, отвечающий и удовлетворяющий условию (возможность его выбора следует из доказательства леммы этого пункта).

Обозначим через -мерное подпространство пространства V, ортогональное к . Очевидно, — инвариантное подпространство оператора А (т. е. если то и . Действительно, пусть Тогда

Следовательно, — элемент и поэтому — инвариантное подпространство оператора А. Это дает нам право рассматривать оператор А в подпространстве . В этом подпространстве А будет представлять собой самосопряженный оператор. Следовательно,

тельно, имеется максимальное собственное значение К этого оператора, которое можно найти с помощью соотношения

Кроме того, можно указать такой вектор что

Обращаясь далее к -мерному подпространству ортогональному векторам и повторяя проведенные выше рассуждения, мы построим собственный вектор ортогональный Рассуждая и далее таким же образом, мы последовательно найдем взаимно ортогональных собственных векторов удовлетворяющих условию

Замечание 1. Договоримся в дальнейшем нумеровать собственные значения самосопряженного оператора в порядке убывания с учетом повторяющихся, т. е. кратных собственных значений. При этом и отвечающие им собственные векторы можно считать взаимно ортогональными и удовлетворяющими условию Таким образом,

Замечание 2. Из рассуждений в доказательстве теоремы 5.21 следует соотношение Это соотношение можно также записать в виде где — линейная оболочка векторов . Справедливость замечания вытекает из того, что и поэтому

причем норма элемента равна 1.

Пусть — множество всех -мерных подпространств пространства V. Справедливо следующее важное минимаксное свойство собственных значений.

Теорема 5.22. Пусть А — самосопряженный оператор и — его собственные значения, занумерованные в порядке, указанном в замечании 1. Тогда

Доказательство. Пусть линейная оболочка собственных векторов оператора А (см. замечание 1).

В силу замечания 2

Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости соотношения

для любого

Перейдем к доказательству соотношения (5.65).

Обозначим символом ортогональное дополнение подпространства Е (см. п. 3 § 2 гл. 4). Из теоремы 2.10 следует, что размерность равна . Следовательно,

Это означает, в силу теоремы 2.9, что пересечение подпространств содержит ненулевой элемент. Итак, существует элемент х такой, что

Так как и базис ортонормированный, то в силу теоремы Пифагора (см. п. 2 § 1 гл. 4)

Имеем далее Поскольку - собственные векторы оператора А, то из последних соотношений получаем Отсюда и из ортонормированности следует справедливость соотношения

Мы занумеровали собственные значения в порядке убывания с учетом возможной их кратности. Поэтому . Отсюда и из соотношений (5.67) и (5.66) получаем

Замечая, что для любого норма элемента равна 1 и а также учитывая, что , получим

Итак, соотношения (5.65) установлены. Теорема доказана.