2. Группа линейных преобразований.

Пусть V — -мерное линейное пространство с элементами жество всех невырожденных линейных преобразований этого пространства.

Определим в закон композиции, который в дальнейшем будем называть умножением. Мы определим умножение линейных преобразований из так же, как было определено в п. 2 § 1 гл. 5 умножение линейных операторов.

Именно, произведением линейных преобразований А и В из множества мы назовем линейный оператор, действующий по правилу

Отметим, что, вообще говоря,

Для того чтобы указанное произведение действительно было законом композиции (см. п. 1 § 1 этой главы), достаточно доказать, что преобразование является невырожденным, а это следует из того, что матрица линейного преобразования равна

произведению матриц преобразований А и В, а следовательно, ибо

Докажем теперь следующую теорему.

Теорема 9.8. Множество невырожденных линейных преобразований линейного n-мерного пространства V с введенной выше операцией умножения представляет собой группу (называемую группой линейных преобразований линейного пространства К).

Доказательство. Проверим требования 1°, 2°, 3° определения 2 группы (см. § 1 этой главы).

1°. Ассоциативность умножения, т. е. равенство

справедливо, поскольку, согласно (9.12), произведение линейных преобразований заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные преобразования совпадают с линейным преобразованием , следовательно, тождественны.

2°. Существование единицы. Обозначим символом тождественное преобразование. Это преобразование невырожденное, так как Очевидно, для любого преобразования А из справедливо равенство

Следовательно, линейное преобразование играет роль единицы.

3°. Существование обратного элемента. Пусть А — любое фиксированное невырожденное линейное преобразование. Обратимся к координатной записи (9.11) этого преобразования. Так как то из системы (9.11) можно по заданному у (по заданным координатам единственным образом определить х (координаты Следовательно, определено обратное преобразование которое, очевидно, будет линейным (это следует из кроме того, по самому определению Поэтому линейный оператор играет роль обратного элемента для А.

Итак, для операции умножения элементов из выполнены требования определения 2 группы. Поэтому — группа. Теорема доказана.