§ 3. Теорема о базисном миноре матрицы

1. Понятие линейной зависимости строк.

Выше мы уже договорились называть строку линейной комбинацией строк если для некоторых вещественных чисел справедливы равенства

Указанные равенств (1.42) удобно записать в виде одного равенства

Всякий раз, когда будет встречаться равенство (1.43), мы будем понимать его в смысле равенств (1.42).

Введем теперь понятие линейной зависимости строк.

Определение. Строки назовем линейно зависимыми, если найдутся такие числа не все равные нулю, что справедливы равенства

равенств (1.44) удобно записать в виде одного равенства

в котором обозначает нулевую строку.

Строки, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Можно дать и «самостоятельное» определение линейной независимости строк: строки называются линейно независимыми, если равенство (1.45) возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.

Докажем следующее простое, но важное утверждение.

Теорема 1.5. Для того чтобы строки были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк являлась линейной комбинацией остальных строк.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть строки линейно зависимы, т. е. справедливо равенство (1.45), в котором хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Ради определенности допустим, что Тогда поделив (1.45) на а и введя обозначения мы можем переписать (1.45) в виде

а это и означает, что строка А является линейной комбинацией строк .

2) Достаточность. Пусть одна из строк (например, А) является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа такие, что справедливо равенство (1.46). Но это последнее равенство можно переписать в виде

Так как из чисел одно отлично от нуля, то последнее равенство устанавливает линейную зависимость строк . Теорема доказана.

Конечно, во всех проведенных выше рассуждениях термин «строки» можно заменить термином «столбцы».