3. Размерность линейного пространства.

Как и выше, будем рассматривать произвольное вещественное линейное пространство

Определение 1. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует линейно независимых элементов, а любые ) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число называется размерностью пространства

Размерность пространства обычно обозначают символом .

Определение 2. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

В настоящей книге мы будем изучать в основном пространства конечной размерности Бесконечномерные пространства составляют предмет специального изучения. (Они изучаются в гл. 10 и 11 выпуска «Основы математического анализа», часть II.)

Выясним связь между понятием размерности пространства и введенным в предыдущем пункте понятием базиса.

Теорема 2.5. Если — линейное пространство размерности то любые линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Пусть — любая система линейно независимых элементов пространства (существование хотя бы одной такой системы вытекает из определения 1).

Если х — любой элемент то, согласно определению 1, система элементов х, ей линейно зависима, т. е. найдутся не все равные нулю числа такие, что справедливо равенство

Заметим, что число заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из равенства (2.9) вытекала бы линейная зависимость элементов Но тогда, поделив равенство (2.9) на и положив мы получим из (2.9)

Так как произвольный элемент то равенство (2.10) доказывает, что система элементов является базисом пространства Теорема доказана.

Теорема 2.6. Если линейное пространство имеет базис, состоящий из элементов, то размерность равна

Доказательство. Пусть система элементов является базисом пространства . Достаточно доказать, что любые элементов этого пространства линейно зависимы Разложив каждый из этих элементов по

базису, будем иметь

где — некоторые вещественные числа.

Очевидно, линейная зависимость элементов эквивалентна линейной зависимости строк матрицы

Но строки указанной матрицы заведомо линейно зависимы, ибо порядок базисного минора этой матрицы (содержащей строк и столбцов) не превосходит и хотя бы одна из ее строк не является базисной и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк. Теорема доказана.

Обращаясь к примерам, рассмотренным в конце предыдущего пункта, мы теперь можем сказать, что размерность пространства всех свободных векторов равна трем, размерность пространства равна а размерность пространства равна единице.

Примером бесконечномерного пространства может служить линейное пространство всех функций определенных и непрерывных на сегменте (см. пример 4 из п. 1 § 1).

В самом деле, для любого номера система элементов этого пространства является линейно независимой (ибо в противном случае некоторый многочлен не все коэффициенты которого равны нулю, оказался бы тождественно равным нулю на сегменте