3. Модифицированный метод простой итерации.

Этот метод получается из общего неявного метода простой итерации в том частном случае, когда стационарный параметр равен единице, а матрица В представляет собой диагональную матрицу состоящую из элементов матрицы А, лежащих на главной диагонали, т. е. где

При этом, конечно, предполагается, что матрица А является симметричной и что все ее диагональные элементы являются положительными (последнее требование необходимо и достаточно для положительной определенности диагональной матрицы В = D).

Из теоремы 6.2 сразу же вытекает, что для сходимости модифицированного метода простой итерации при любом выборе нулевого приближения достаточно, чтобы были выполнены два условия

Теорема 6.1 позволяет выразить достаточное условие сходимости модифицированного метода простой итерации и в другой форме:

(под нормой матрицы, как и выше, понимается операторная норма).

Так как то достаточное условие сходимости (6.24) можно переписать в эквивалентном виде

Неравенство (6.25) позволяет получить различные достаточные условия сходимости модифицированного метода простой итерации.

Прежде всего заметим, что еслн наряду с операторной нормой матрицы (6.2) (которую мы, как и выше, будем обозначать символом ввести так называемую сферическую норму этой матрицы, обозначаемую символом и определяемую равенством то, как доказано в § 4 гл. 4 (см. формулу (4.28)), для любого вектора X пространства будет справедливо неравенство

Из (6.26) и (6.5) сразу же вытекает, что операторная и сферическая нормы матрицы связаны соотношением

Таким образом, в силу (6.25) достаточное условие сходимости модифицированного метода простой итерации выражается неравенством

которое в развернутой записи имеет вид

Заметим далее, что при определении операторной нормы (6.5) матрицы А мы исходили из обычной (так называемой с ферической) нормы вектора равной

Часто вводят еще две нормы вектора X: так называемую кубическую норму, определяемую равенством , и так называемую октаэдрическую норму, определяемую равенством Если в определении (6.5) операторной нормы матрицы А понимать под нормой вектора соответственно его кубическую или октаэдрическую норму, то соотношение (6.5) приведет нас к определению соответственно кубической и октаэдрической операторных норм матрицы А.

Можно доказать, что кубическая и октаэдрическая операторные нормы матрицы (6.2) следующим образом выражаются через элементы этой матрицы:

Дословное повторение проведенных выше рассуждений с заменой сферических норм соответственно кубическими и октаэдрическими приведет нас к достаточному условию сходимости модифицированного метода простой итерации, выраженному соотношением (6.25), в котором под нормой матрицы следует понимать соответственно ее кубическую или октаэдрическую операторные нормы.

Это приводит нас к следующим двум условиям, каждое из которых является достаточным для сходимости модифицированного метода простой итерации