3. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы.

Рассмотрим в линейном пространстве два базиса

. Пусть матрицы данной билинейной формы в указанных базисах.

Выясним вопрос о связи этих матриц, т. е. выясним вопрос о преобразовании матрицы билинейной формы при переходе от базиса к новому базису

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 7.2. Матрицы билинейной формы в базисах связаны соотношением

где — матрица перехода от базиса к базису транспонированная матрица С.

Доказательство. Элементы нового базиса выражаются через элементы старого базиса с помощью матрицы по формулам

Так как , то, согласно (7.8), получим

Напомним, что элементы транспонированной матрицы С связаны элементами матрицы С соотношениями

Подставляя эти соотношения в правую часть (7.9), получим для следующее выражение:

Сумма (по определению произведения матриц) представляет собой элемент матрицы . Опюда следует, что выражение в правой части (7.10) является элементом матрицы . Но в левой части (7.10) стоит элемент матрицы Поэтому . Теорема доказана.

Следствие. Ранг матрицы равен рангу матрицы Это сразу вытекает из соотношения (7.7), из того, что матрица С и, стало быть, матрица С являются невырожденными, и из теоремы о том, что ранг матрицы не изменяется при умножении ее на невырожденную матрицу.

Это следствие позволяет ввести важный числовой инвариант билинейной формы — так называемый ранг билинейной формы.

Определение 1. Рангом билинейной формы, заданной в конечномерном линейном пространстве называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства

Определение 2. Билинейная форма заданная в конечномерном линейном пространстве называется невырожденной (вырожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства .