§ 6. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве

В предыдущих параграфах мы изучали билинейные и квадратичные формы в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве . В этом параграфе мы получим ряд сведений о билинейных и квадратичных формах, заданных в вещественном евклидовом пространстве. При этом мы будем широко пользоваться результатами § 9 гл. 5, посвященного линейным операторам.

В п. 3 настоящего параграфа будет показано, каким образом теория евклидовых пространств может быть применена для получения содержательных результатов в произвольных линейных пространствах. В частности, нами будет получено независимое доказательство теоремы о том, что каждая квадратичная форма в линейном пространстве может быть приведена к каноническому виду.

1. Предварительные замечания.

В этом пункте мы напомним некоторые понятия теории линейных операторов.

Пусть -мерное вещественное евклидово пространство и А — линейный оператор, действующий из V в V. Оператор А называется сопряженным к А, если для всех выполняется равенство

Оператор А называется самосопряженным, если т. е. если для всех

Рассмотрим билинейную форму заданную в евклидовом пространстве V. В главе 5 было установлено, что каждой такой форме однозначно соответствует линейный оператор такой, что справедливо равенство

Кроме того, в теореме 5.33 было доказано, что билинейная форма является симметричной тогда и только тогда, когда оператор А, фшурируклций в (7 44), является самосопряженным.

Напомним также, что в теореме 5.35 для любого самосопряженного оператора А было доказано существование ортонормированного базиса из собственных векторов Это означает, что существуют ортонормированная система и вещественные числа такие, что

Отметим, что в базисе матрица оператора А имеет диагональный вид.