3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве.

Докажем теперь важную теорему об одновременном приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве.

Теорема 7.9. Пусть — симметричные билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве V. Допустим далее, что для всех , справедливо неравенство (т. е. квадратичная форма — положительно определенная). Тогда в пространстве V можно указать базис такой, что квадратичные формы могут быть представлены в виде

где — координаты вектора х в базисе

Доказательство. Согласно замечанию в конце § 2 этой главы скалярное произведение в конечномерном вещественном пространстве может быть задано с помощью билинейной формы полярной к положительно определенной квадратичной форме

Поэтому мы можем ввести в линейном пространстве V скалярное произведение векторов полагая

Таким образом, V представляет собой евклидово пространство со скалярным произведением (7.53). По теореме 7.11 можно указать такой ортонормированный базис и такие вещественные числа что в этом базисе квадратичная форма представляется в виде (7.51).

С другой стороны, в любом ортонормированном базисе скалярное произведение равное, согласно (7.53), представляется в виде суммы квадратов координат вектора х. Таким образом, представление в виде (7.52) в базисе также обоснованно. Теорема доказана.

Замечание. Из доказанной нами теоремы непосредственно следует, что любую квадратичную форму в произвольном вещественном линейном пространстве можно привести к каноническому виду. Однако способ такого приведения является, вообще говоря, более сложным, чем способы, изложенные выше в § 3, поскольку он требует нахождения всех собственных векторов некоторого самосопряженного оператора (см. по этому поводу гл. 6).