3. Норма линейного оператора.

Пусть А — линейный оператор, отображающий евклидово пространство V в это же пространство. Введем понятие нормы оператора А.

Определение 3. Нормой линейного оператора А называется число, определяемое соотношением

Из определения нормы линейного оператора вытекает следующее очевидное неравенство:

(для доказательства достаточно воспользоваться соотношением . Из соотношения (5.54) следует, что если то оператор А является нулевым.

Норму самосопряженного оператора А можно определить и другим способом. Именно, справедливо утверждение.

Если А — самосопряженный оператор, то введенная выше норма оператора А равна

Доказательство. Для любого х из V справедливо неравенство Коши—Буняковского (см. п. 2, § 3, гл. 4)

Из него и из неравенства (5.54) получаем следующее неравенство: . Поэтому число

удовлетворяет соотношению

Отметим, что из равенства , и определения числа (см. (5.56)) вытекает следующее неравенство:

Обратимся теперь к следующему очевидному тождеству:

(в этом тождестве символ обозначает действительную часть комплексного числа ; само тождество легко вытекает из свойств скалярного произведения, см. п. 1 § 3 гл. 4). Беря левую и правую части этого тождества по модулю, используя свойство модуля суммы и неравенство (5.58), получим следующие соотношения

Отсюда при получаем неравенство

Полагая в этом неравенстве (очевидно, ) и учитывая, что число является вещественным (поэтому получим . Отсюда, согласно неравенству (5.53), найдем

Для завершения доказательства остается сравнить полученное неравенство с неравенством (5.57) и воспользоваться определением числа (см. (5.56)).