3. Свойства совокупности решений однородной системы.

Рассмотрим теперь однородную систему линейных уравнений с неизвестными (3.7), предполагая, как и выше, что матрица (3.2)

имеет ранг, равный и что базисный минор М расположен в левом верхнем углу этой матрицы.

Поскольку на этот раз все равны нулю, вместо формул (3.20) мы получим следующие формулы:

выражающие значения неизвестных через коэффициенты при неизвестных и произвольно заданные значения . В силу доказанного в предыдущем пункте формулы (3.24) содержат любое решение однородной системы (3.7).

Убедимся теперь в том, что совокупность всех решений однородной системы (3.7) образует линейное пространство.

Пусть — два произвольных решения однородной системы (3.7), любое вещественное число. В силу того, что каждое решение однородной системы (3.7) является элементом линейного пространства всех упорядоченных совокупностей чисел, достаточно доказать, что каждая из двух совокупностей

также является решением однородной системы (3.7).

Рассмотрим любое уравнение системы (3.7), например уравнение, и подставим в это уравнение на место неизвестных элементы указанных совокупностей. Учитывая, что — решения однородной системы, будем иметь

а это и означает, что совокупности являются решениями однородной системы (3.7).

Итак, совокупность всех решений однородной системы (3.7) образует линейное пространство, которое мы обозначим символом

Найдем размерность этого пространства и построим в нем базис.

Докажем, что в предположении о том, что ранг матрицы однородной системы (3.7) равен линейное пространство всех решений однородной системы (3.7) изоморфно линейному пространству всех упорядоченных совокупностей чисел

Поставим в соответствие каждому решению однородной системы (3.7) элемент пространства Поскольку числа могут быть выбраны произвольно и при каждом выборе с помощью формул (3.24) однозначно определяют решение системы (3.7), то установленное нами соответствие является взаимно однозначным. Далее заметим, что если элементы пространства отвечают элементам пространства то из формул (3.24) сразу же следует, что элементу отвечает элемент а элементу при любом вещественном А отвечает элемент Тем самым доказано, что установленное нами соответствие является изоморфизмом.

Итак, линейное пространство всех решений однородной системы (3.7) с неизвестными и рангом основной матрицы, равным изоморфно пространству , стало быть, имеет размерность

Любая совокупность из линейно независимых решений однородной системы (3.7) образует (в силу теоремы 2.5) базис в пространстве всех решений и называется фундаментальной совокупностью решений однородной системы (3.7).

Для построения фундаментальной совокупности решений можно отправляться от любого базиса пространства Отвечающая этому базису совокупность решений системы (3.7) в силу изоморфизма будет линейно независимой и поэтому будет являться фундаментальной совокупностью решений.

Особо выделяют фундаментальную совокупность решений системы (3.7), отвечающую простейшему базису пространства и называемую нормальной фундаментальной совокупностью решений однородной системы (3.7).

При сделанных выше предположениях о ранге и расположении базисного минора, в силу формул (3.24), нормальная фундаментальная совокупность решений однородной системы (3.7) имеет вид:

По определению базиса любое решение X однородной системы (3.7) представимо в виде

где — некоторые постоянные. Поскольку в формуле (3.26) содержится любое решение однородной системы (3.7), то эта формула дает общее решение рассматриваемой однородной системы.

Пример. Рассмотрим однородную систему уравнений

соответствующую неоднородной системе (3.21), разобранной в примере в конце предыдущего пункта. Там мы выяснили, что ранг матрицы этой системы равен двум, и взяли в качестве базисного минор, стоящий в левом верхнем углу указанной матрицы.

Повторяя рассуждения, проведенные в конце предыдущего пункта, мы получим вместо формул (3.22) соотношения

справедливые при произвольно выбранных . С помощью этих соотношений (полагая сначала а затем мы получим нормальную фундаментальную совокупность двух решений системы (3.27):

Общее решение однородной системы (3.27) имеет вид

где — произвольные постоянные.

В заключение этого пункта установим связь между решениями неоднородной линейной системы (3.1) и соответствующей ей однородной системы Докажем следующие два утверждения.

1°. Сумма любого решения неоднородной системы (3.1) с любым решением соответствующей однородной системы (3.7) представляет собой решение системы (3.1).

В самом деле, если решение системы (3.1), а решение соответствующей ей однородной системы (3.7), то, подставив в любое (например, в уравнение системы (3.1) на место неизвестных числа получим

что и требовалось доказать.

2°. Разность двух произвольных решений неоднородной системы (3.1) является решением соответствующей однородной системы

В самом деле, если — два произвольных решения системы (3.1), то, подставив в любое (например, в уравнение системы (3.7) на место неизвестных числа , получим

что и требовалось доказать.

Из доказанных утверждений вытекает, что; найдя одно решение неоднородной системы (3.1) и складывая его с каждым решением соответствующей однородной системы (3.7), мы получим все решения неоднородной системы (3.1).

Другими словами, сумма частного решения неоднородной системы (3.1) и общего решения соответствующей однородной системы (3.7) дает общее решение неоднородной системы (3.1).

В качестве частного решения неоднородной системы (3.1) естественно взять то его решение

которое получится, если в формулах (3.20) положить равными нулю все числа . Складывая это частное решение с общим решением (3.26) соответствующей однородной системы, мы получим следующее выражение для общего решения неоднородной системы (3.1):

В этом выражении обозначает частное решение (3.29), — произвольные постоянные, а элементы нормальной фундаментальной совокупности решений (3.25) соответствующей однородной системы.

Так, для рассмотренной в конце предыдущего пункта неоднородной системы (3.21) частное решение вида (3.29) равно Складывая это частное решение с общим решением (3.28) соответствующей однородной системы (3.27), мы получим следующее общее решение неоднородной системы (3.21):

(Здесь — произвольные постоянные.)