§ 4. Метрический тензор псевдоевклидова пространства

1. Понятие псевдоевклидова пространства и метрического тензора псевдоевклидова пространства.

Рассмотрим n-мерное линейное пространство в котором задана невырожденная, симметричная билинейная форма полярная знакопеременной квадратичной форме.

Будем называть скалярным произведением векторов х и у значение билинейной формы. Наименование

«скалярное произведение» условно, поскольку в рассматриваемом случае не выполняется четвертая аксиома скалярного произведения. Именно, в случае, когда билинейная форма полярна знакопеременной квадратичной форме, выражение в зависимости от выбора может иметь как положительное, так и отрицательное значение и обращаться в нуль для ненулевых векторов х. Все же мы будем пользоваться термином «скалярное произведение», так как это общепринято.

Сформулируем определение псевдоевклидова пространства.

Определение. Псевдоевклидовым пространством называется n-мерное линейное пространство в котором задано скалярное произведение посредством невырожденной симметричной билинейной формы полярной знакопеременной квадратичной форме.

Число называется размерностью псевдоевклидова пространства.

Выделим в линейном пространстве базис и обозначим через матрицу билинейной формы в этом базисе (напомним, что ) Если — контравариантные координаты векторов х и у, то

В полной аналогии с рассуждениями § 2 этой главы доказывается, что представляют собой координаты тензора С типа (2,0). Этот тензор мы будем в дальнейшем называть метрическим тензором псевдоевклидова пространства.

Так как скалярное произведение равно то, согласно (8.67), имеем

Известно, что матрицу билинейной формы можно привести к диагональному виду. При этом в силу невырожденности формы координаты метрического тензора после приведения к диагональному виду будут равны нулю при и единице или минус единице при Число положительных и число отрицательных диагональных элементов не зависит от способа приведения к диагональному виду, причем, в силу невырожденности формы

Приведенные рассуждения поясняют обозначение для -мерного псевдоевклидова пространства.

Естественно поставить вопрос об измерении длин векторов в псевдоевклидовом пространстве.

В евклидовом пространстве с метрическим тензором квадрат длины вектора координатами считается равным Если определить квадрат длины вектора х с помощью соотношения

то, очевидно (поскольку форма знакопеременная), можно указать ненулевые векторы с положительным квадратом длины, с отрицательным квадратом длины и с нулевым квадратом длины. Поэтому, чтобы получить в качестве меры длины векторов лишь действительные числа, обычно за длину вектора принимают

В дальнейшем мы будем использовать следующую терминологию, заимствованную из специальной теории относительности: мы будем называть ненулевой вектор х времениподобным, если для этого вектора пространственноподобны если а и изотропным, если

Справедливо следующее утверждение:

Множество концов всех времениподобных (пространственноподобных, изотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой М псевдоевклидова пространства, образует конус.

Для определенности докажем утверждение, рассматривая времениподобные векторы. Очевидно, достаточно доказать, что если х — времениподобный вектор, то при любом вещественном вектор также времен и подобен.

Так как координаты вектора равны то, согласно (8.68), . Отсюда и из (8.69) следует, что вектор будет времениподобным.

Для случая времениподобных векторов утверждение доказано. Рассуждая аналогично, убедимся в справедливости утверждения для случая пространственноподобных и изотропных векторов.

Конус времениподобных векторов обозначается часто символом Т (от англ. time — время), а конус пространственноподобных векторов — символом 5 (от англ. — пространство).