2. Понятие группы. Некоторые свойства групп.

Сформулируем следующее определение.

Определение 1. Множество А, в котором определен закон композиции Т, называется группой если этот закон ассоциативен, существует нейтральный элемент относительно закона Т и для каждого элемента а множества А существует обратный элемент т. е. такой элемент, для которого

Если использовать мультипликативную форму записи композиции элементов, то определению 1 можно придать следующую форму.

Определение 2. Множество А элементов в котором определен закон композиции, называемый умножением и ставящий в соответствие каждой паре элементов множества А определенный элемент этого множества, называется группой если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:

(ассоциативность);

2°. Существует элемент множества А такой, что для любого элемента а этого множества (существование нейтрального элемента).

3°. Для любого элемента а множества А существует обратный элемент такой, что .

Обычно нейтральный элемент называется единицей группы

Если закон композиции Т, действующий в группе является коммутативным, то группа называется коммутативной или абелевой. Для абелевых групп часто используется аддитивная форма записи композиции элементов. В этом случае нейтральный элемент абелевой группы называется нулем.

Рассмотрим примеры групп.

1) Множество целых чисел образует абелеву группу относительно сложения.

Действительно, операция сложения целых чисел представляет собой, очевидно, закон композиции. Ясно, что этот закон ассоциативен и коммутативен. Нейтральным элементом (нулем) является целое число нуль. Обратным элементом для целого числа а служит целое число —а.

2) Множество положительных вещественных чисел образует абелеву группу относительно умножения. Эта операция представляет собой закон композиции. Очевидно, этот закон ассоциативен и коммутативен. Нейтральным элементом является вещественное число единица. Обратным элементом для числа служит число

3) Линейное пространство образует абелеву группу относительно сложения элементов. Эта операция представляет собой закон композиции. Согласно аксиомам линейного пространства

Рис. 9.1.

этот закон ассоциативен и коммутативен Нейтральным элементом является нулевой элемент пространства, обратным элементом для элемента х — элемент

4) Пусть — равносторонний треугольник (см. рис. 9.1) Рассмотрим следующее множество А операций, совмещающих треугольник с самим собой

1° Поворот а на вокруг центра Н, переводящий В в С.

2°. Поворот на переводящий В в

3°. Симметрия переводящая С в

4°. Симметрия переводящая в В.

5°. Симметрия переводящая В в С.

6°. Тождественная операция 1.

Следующая таблица представляет закон композиции элементов множества А:

(Правило пользования этой таблицей легко усматривается на примере последовательного проведения операций а затем

Приведенный закон композиции ассоциативен, но не коммутативен, существует нейтральный элемент — тождественная операция 1. Каждая операция имеет обратную (в каждой строке и столбце таблицы имеется тождественная операция).

Таким образом, множество А операций с указанным законом композиции представляет собой группу, очевидно, не коммутативную.

5) Группы перестановок.

Взаимно однозначное отображение произвольного множества на себя называется перестановкой множества Е. При

этом всякий элемент а множества Е переходит в элемент , обратная перестановка переводит в а. Перестановка для любого а множества Е называется тождественной перестановкой.

Если множество Е состоит из элементов перестановку этого множества записывают следующим образом:

В множестве Р перестановок множества Е естественным образом определяется закон композиции: если — перестановки Е, то последовательное проведение этих перестановок представляет собой некоторую перестановку множества Е. Легко видеть, что композиция ассоциативна.

Если множество Р содержит тождественную перестановку, обратную перестановку для каждой своей перестановки и вместе с любыми двумя перестановками их композицию то, очевидно, Р представляет собой группу.

Все перестановки множества Е образуют группу. Для конечного множества Е из элементов эта группа называется симметрической группой

Обратимся к примеру 4), в котором были рассмотрены операции совмещения равностороннего треугольника с самим собой. Обозначим через Е множество вершин этого треугольника:

Очевидно, группу операций, рассмотренную в примере 4), можно получить, обращаясь к следующей группе перестановок:

6) Рассмотрим группу состоящую из двух элементов 0 и 1, в которой умножение определено по правилу

Единицей группы является - элемент 0.

Эту группу называют группой вычетов по модулю 2.

7) Рассмотрим группу, состоящую из двух элементов: 1) тождественное преобразование евклидова пространства (обозначим этот элемент 0); 2) отражение евклидова пространства относительно начала координат (обозначим этот элемент 1).

Очевидно, умножение (т. е. последовательное проведение операций 1) и 2)) элементов 0 и 1 будет проводиться по правилу (9.1). Мы видим, что рассматриваемая группа отличается от группы (пример 6) лишь природой элементов Групповые свойства этих двух групп одинаковы.

Отметим следующие свойства групп (мы будем использовать мультипликативную форму записи композиции).

Теорема 9.1. Если то .

Доказательство Пусть х — обратный элемент для элемента

Тогда Следовательно, Теорема доказана.

Теорема 9.2. Для любого элемента а группы справедливо соотношение

Доказательство. По теореме кроме того, . Поэтому . Теорема доказана.

Теорема 9.3. Если то

Доказательство. Так как то у — обратный элемент для а, и поэтому, согласно теореме . Имеем далее Теорема доказана.

Из доказанных теорем вытекают следующие важные следствия:

Следствие 1. Обратным элементом для элемента служит элемент а. Или, иначе, элемент является как правым, так и левым обратным элементом для элемента а (т. е. )

Следствие 2. В любой группе уравнения однозначно разрешимы. Решениями этих уравнений служат соответственно элементы

Следствие 3. В группе имеется единственный нейтральный элемент (единица группы) (если то ).

Замечание. Отметим, что обратным элементом для произведения служит элемент

Действительно, используя ассоциативное свойство умножения, получим