4. Экстремальные свойства квадратичной формы.

Рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию определенную на некоторой гладкой поверхности (см. определение гладкой поверхности в гл. 5 части 2 «Основ математического анализа»). Будем говорить, что точка поверхности является стационарной точкой функции если в точке производная функции по любому направлению на поверхности равна нулю. В частности, точки экстремума функции являются ее стационарными точками.

Значение функции в стационарной точке называется стационарным значением. Иногда стационарную точку функции называют ее критической точкой, а величину — критическим значением. В этом пункте мы исследуем вопрос о стационарных и, в частности, экстремальных значениях квадратичной формы на сфере единичного радиуса в евклидовом пространстве У и о связи этих значений с собственными значениями самосопряженного оператора А, с помощью которого симметричная билинейная форма полярная квадратичной форме представляется в виде

При этом единичной сферой в V мы будем называть множество тех векторов , которые удовлетворяют уравнению

Для упрощения рассуждений мы воспользуемся выводами предыдущего пункта о приведении квадратичной формы к сумме квадратов.

Итак, пусть — квадратичная форма, — полярная этой форме билинейная форма, А — самосопряженный оператор, связанный с соотношением (7.54).

По теореме 7.8 в ортонормированном базисе состоящем из собственных векторов оператора А, квадратичная форма имеет вид

где — координаты вектора х в базисе , а собственные значения оператора А. Мы договоримся нумеровать эти собственные значения в порядке убывания:

Заметим, что в выбранном базисе единичная сфера, определяемая уравнением (7.55), в координатах вектора х задается уравнением

Докажем следующую теорему.

Теорема 7.10. Стационарные значения квадратичной формы на единичной сфере (7.55) равны собственным значениям оператора А. Эти стационарные значениядостигаются, в част ности, на единичных собственных векторах оператора А.

Доказательство. Так как речь идет о стационарных значениях функции при условии , т. е. об условном экстремуме этой функции, то мы можем воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа (см. «Основы математического анализа» часть I, п. 2, § 5, гл. 15). Составим для функции используя ее выражение (7.56) в данном базисе функцию Лагранжа учитывая при этом, что уравнение связи имеет вид (7.58). Получим

где к — неопределенный множитель Лагранжа.

Напомним, что если к в (7.59) выбрано так, что при условии (7.58) выполняются соотношения

то в точках сферы (7.58), отвечающих этим значениям к, функция (квадратичная форма имеет стационарное значение.

Таким образом, вопрос о стационарных значениях на сфере редуцируется к исследованию системы уравнений (7.58), (7.60) относительно неизвестных к и координат вектора х. Отметим, что при этом будут координатами того вектора х, на котором будет иметь стационарное значение.

Так как то интересующая нас система (7.58), (7.60) примет вид

Пусть система (7.61) имеет решение

Умножая каждое из соотношений на , суммируя затем полученные соотношения и учитывая, что , получим, согласно (7.56), следующее значение для :

Таким образом, если — решение системы (7.61), то X равно значению квадратичной формы на векторе на котором эта форма имеет стационарное значение.

Легко видеть, что решениями системы (7.61) служат следующие значения неизвестных X и

Очевидно, эти решения являются собственными значениями и координатами соответствующих собственных векторов . Теорема доказана.

Замечание. Мы только что выяснили, что собственные значения являются стационарными значениями квадратичной формы на сфере .

Оказывается, числа и (при условии (7.57)) являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями на сфере (то, что эти значения достигаются, установлено выше).

Чтобы убедиться в справедливости замечания, достаточно заменить в (7.56) все Я сначала на а затем на и воспользоваться соотношениями (7.57) и (7.58).

Очевидно, получим неравенства