§ 2. Квадратичные формы

Пусть — симметричная билинейная форма, заданная на линейном пространстве

Определение 1. Квадратичной формой называется числовая функция одного векторного аргумента х, которая получается из билинейной формы при

Симметричная билинейная форма называется полярной к квадратичной форме

Полярная билинейная форма и квадратичная форма связаны следующим соотношением:

которое вытекает из очевидного равенства

и свойства симметрии формы

Пусть в конечномерном линейном пространстве задана симметричная билинейная форма полярная к квадратичной форме Пусть, кроме того, в указан базис

Согласно теореме 7.1 форму можно представить в виде (7.3)

где — координаты в базисе векторов соответственно. При этом в силу симметрии

(см. замечание 2 п. 2 предыдущего параграфа).

Полагая в мы получим следующее представление для квадратичной формы в конечномерном пространстве с заданным базисом

Матрица называется матрицей квадратичной формы в заданном базисе е.

Согласно (7.11) матрица является симметричной. Очевидно, каждой симметричной матрице отвечает с помощью соотношения (7.12) квадратичная форма причем (7.12) будет представлением в пространстве с заданным базисом (см. также замечание предыдущего параграфа).

Отметим, что матрица квадратичной формы при переходе к новому базису преобразуется по формуле (7.7). Поэтому ранг этой матрицы не меняется при переходе к новому базису.

Обычно ранг матрицы квадратичной формы называется рангом квадратичной формы.

Если ранг матрицы квадратичной формы равен размерности пространства то форма называется невырожденной, а в противном случае — вырожденной.

В дальнейшем мы будем использовать следующую терминологию.

Определение 2. Квадратичная форма называется:

1) положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого х выполняется неравенство

(такие формы называются такжез накоопределенны

2) знакопеременной, если ществуют такие х и у, что

3) квазизнакоопределенной, если для всех х

но имеется отличный от нуля вектор х, для которого

В дальнейшем мы укажем признаки, по которым можно судить о принадлежности формы к одному из указанных типов.

Отметим следующее важное утверждение.

Если представляет собой билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме то удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве.

Обратимся к четырем аксиомам скалярного произведения (см. п. 1 § 1 гл. 4).

Если число, называемое скалярным произведением векторов х и у, обозначить символом , то эти аксиомы запишутся следующим образом:

Так как билинейная форма полярная квадратичной форме симметрична, то аксиома Г выполняется. Аксиомы 2° и 3° в сочетании с требованием симметрии выполнены в силу определения билинейной формы (см. п. 1 § 1 этой главы). Аксиома 4° выполняется, так как квадратичная форма положительно определена.

Замечание. Очевидно, аксиомы скалярного произведения можно рассматривать как совокупность требований, определяющих билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме. Поэтому скалярное произведение в линейных пространствах может быть задано с помощью такого вида билинейной формы.