3. Условие совместности общей линейной системы.

Установим теперь необходимое и достаточное условие совместности общей (вообще говоря, неоднородной) системы вида (3.1). С этой системой связаны две матрицы: матрица А, определяемая соотношением (3.2), которую принято называть основной матрицей системы (3.1) (она составлена из коэффициентов при неизвестных), и матрица

которую принято называть расширенной матрицей системы (3.1) (она получается из основной матрицы путем добавления к этой матрице столбца (3.5) свободных членов).

Справедлива следующая основная теорема.

Теорема 3.2 (теорема Кронекера—Капелли). Для того чтобы линейная система (3.1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть система (3.1) совместна, т. е. существуют такие числа си что справедливы равенства

Обозначим через ранг основной матрицы системы (3.1) и рассмотрим линейную оболочку базисных столбцов этой матрицы. В силу теоремы 1.6 о базисном миноре любой столбец основной матрицы принадлежит указанной линейной оболочке Иными словами, любой столбец расширенной матрицы (3.8), кроме последнего ее столбца, принадлежит указанной линейной оболочке

Из равенств (3.9) следует, что и последний столбец расширенной матрицы (3.8) принадлежит линейной оболочке L (ибо этот последний столбец в силу равенств (3.9) линейно выражается через все столбцы основной матрицы и поэтому линейно выражается через ее базисные столбцы).

Таким образом, все столбцы расширенной матрицы (3.8) принадлежат указанной линейной оболочке . В п. 2 § 3 гл. 2 мы уже установили, что размерность указанной линейной оболочки равна . Это означает, что любые столбцов расширенной

матрицы (3.8) линейно зависимы, т. е. ранг расширенной матрицы (равный максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы) также равен числу Необходимость доказана.

2) Достаточность. Пусть ранги основной и расширенной матриц совпадают. Тогда базисных столбцов основной матрицы будут являться базисными столбцами и расширенной матрицы По теореме 1.6 о базисном миноре последний столбец расширенной матрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную комбинацию указанных базисных столбцов. Стало быть, последний столбец расширенной матрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную комбинацию и всех столбцов основной матрицы т. е. существуют числа такие, что справедливы равенства (3.9). Последние равенства означают, что числа представляют собой решение системы (3.1), т. е. эта система является совместной. Теорема полностью доказана.