2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов в ортогональном базисе.

Пусть — симметричная билинейная форма, заданная в вещественном евклидовом пространстве V, а — определяемая ею квадратичная форма.

Докажем следующую теорему о приведении квадратичной формы к сумме квадратов.

Теорема 7.8. Пусть — симметричная билинейная форма, заданная в евклидовом пространстве V. Тогда в пространстве V существует такой ортонормированный базис и можно указать такие вещественные числа что для любого квадратичная форма может быть представлена в виде следую. щей суммы квадратов координат вектора х в базисе

Доказательство. Так как — симметричная билинейная форма, то существует самосопряженный оператор А такой, что

По теореме 5.35 для оператора А можно указать ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора; пусть — собственные значения, отвечающие

Пусть вектор х имеет в базисе координаты

Тогда, очевидно, поскольку — собственные векторы оператора А:

Из соотношений (7.48) и (7.49) вследствие ортонормированности базиса получаем следующее выражение для скалярного произведения

Отсюда и из соотношения (7.47) получаем (7.46). Теорема доказана.