4. Понятие изоморфизма линейных пространств.

В этом пункте мы покажем, что различные линейные пространства одной и той же размерности в смысле свойств, связанных со введенными в этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг от друга.

Так как в линейных пространствах введены лишь операции сложения элементов и умножения элементов на числа, то естественно сформулировать следующее определение.

Определение. Два произвольных вещественных линейных пространства и называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам пространства отвечают соответственно элементы и у пространства то элементу отвечает элемент а элементу при любом вещественном отвечает элемент

Заметим, что если линейные пространства и изоморфны, то нулевому элементу отвечает нулевой элемент и наоборот. (В самом деле, пусть элементу х пространства отвечает некоторый элемент х пространства Тогда элементу : пространства R отвечает элемент пространства

Отсюда следует, что если в случае изоморфизма элементам пространства отвечают соответственно элементы пространства то линейная комбинация является нулевым элементом пространства тогда и только тогда, когда линейная комбинация является нулевым элементом пространства

Но это означает, что если пространства и изоморфны, то максимальное число линейно независимых элементов в каждом из этих пространств одно и то же.

Иными словами, два изоморфных пространства обязаны иметь одинаковую размерность.

Стало быть, пространства разной размерности не могут быть изоморфны.

Докажем теперь следующее утверждение.

Теорема 2.7. Любые два n-мерных вещественных линейных пространства и изоморфны.

Доказательство. Выберем в какой-либо базис а в — какой-либо базис Поставим в соответствие каждому элементу хпеп пространства элемент пространства (т. е. мы берем в качестве х тот элемент который имеет относительно базиса те же самые координаты, что и элемент х относительно базиса ей

Убедимся в том, что установленное соответствие является взаимно однозначным. В самом деле, каждому элементу х пространства однозначно соответствуют координаты которые в свою очередь определяют единственный элемент пространства . В силу равноправности пространств и каждому элементу пространства в свою очередь соответствует единственный элемент х пространства

Остается заметить, что если элементам х и у пространства отвечают соответственно элементы х и у пространства то в силу теоремы 2.4 элементу отвечает элемент а элементу отвечает элемент Теорема доказана.

Из приведенного нами рассмотрения следует, что единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность.