2. Некоторые свойства произвольных линейных пространств.

Из аксиом 1°-8° в качестве логических следствий можно получить ряд утверждений, справедливых для произвольных линейных

пространств. В качестве примера установим два утверждения.

Теорема 2.1. В произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента х существует единственный противоположный элемент.

Доказательство. Существование хотя бы одного нулевого элемента утверждается в аксиоме 3°. Предположим, что существуют два нулевых элемента Тогда, полагая в аксиоме 3° сначала а затем мы получим два равенства левые части которых (в силу аксиомы 1°) равны. Стало быть, в силу транзитивности знака равны и правые части двух последних равенств, т. е. , и единственность нулевого элемента установлена.

Существование для каждого элемента лгхотя бы одного противоположного элемента у утверждается в аксиоме 4°. Предположим, что для некоторого элемента х существует два противоположных элемента так что Но тогда в силу аксиом и единственность для каждого элемента х противоположного элемента доказана. Теорема доказана.

Теорема 2.2. В произвольном линейном пространстве

1) нулевой элемент 0 равен произведению произвольного элемента х на вещественное число 0;

2) для каждого элемента х противоположный элемент равен произведению этого элемента х на вещественное число —1.

Доказательство. 1) Пусть х — произвольный элемент, а у — ему противоположный. Последовательно применяя аксиомы и снова 5° и 4°, будем иметь

2) Пусть х — произвольный элемент, Используя аксиомы 5°, 7°, 1° и уже доказанное равенство получим равенство которое и доказывает (в силу аксиомы, 4°), что у — элемент противоположный х. Теорема доказана.

Отметим в заключение, что аксиомы позволяют доказать существование и единственность разности любых двух элементов линейного пространства х и у, которая определяется как элемент удовлетворяющий условию . (Таковым элементом служит сумма )