4. Изоморфизм n-мерных евклидовых пространств.

В этом пункте мы покажем, что различные евклидовы пространства одной и той же размерности в смысле свойств, связанных со введенными в этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг от друга.

Поскольку в евклидовых пространствах введены лишь операции сложения элементов, умножения элементов на числа и скалярного перемножения элементов, то естественно сформулировать следующее определение.

Определение. Два евклидовых пространства Е и называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам х и у пространства Е отвечают соответственно

ветственно элементы х и у пространства , то элементу отвечает элемент элементу (при любом вещественном X) отвечает элемент и скалярное произведение равно скалярному произведению

Таким образом, евклидовы пространства изоморфны, если они изоморфны как линейные пространства и если этот изоморфизм сохраняет величину скалярного произведения соответствующих пар элементов.

Теорема 4.4. Все евклидовы пространства одной и той же размерности изоморфны между собой.

Доказательство. Достаточно доказать, что любое -мерное евклидово пространство Е изоморфно евклидову пространству упорядоченных совокупностей вещественных чисел со скалярным произведением (4.2). Согласно теореме 4.3 в евклидовом пространстве Е существует ортонормированный базис Каждому элементу пространства поставим в соответствие вещественных чисел т. е. вполне определенный элемент пространства .

Установленное соответствие будет взаимно однозначным. Кроме того, из теоремы 2.4 вытекает, что если элементам пространства Е отвечают соответственно элементы пространства

Установленное соответствие будет взаимно однозначным. Кроме того, из теоремы 2.4 вытекает, что если элементам пространства Е отвечают соответственно элементы пространства то элементу отвечает элемент а элементу отвечает элемент

Остается доказать, что для соответствующих пар элементов сохраняется величина скалярного произведения.

В силу ортонормированности базиса и формулы . С другой стороны, в силу формулы (4.2), определяющей скалярное произведение в пространстве . Теорема доказана.

Доказанная теорема позволяет утверждать, что если в каком-нибудь конкретном -мерном евклидовом пространстве доказана теорема, сформулированная в терминах операций сложения, умножения на числа и скалярного перемножения элементов, то эта теорема справедлива и в совершенно произвольном n-мерном евклидовом пространстве .