§ 3. Подпространства линейных пространств

1. Понятие подпространства и линейной оболочки.

Предположим, что некоторое подмножество линейного пространства удовлетворяет следующим двум требованиям:

1°. Если элементы х и у принадлежат подмножеству то и сумма принадлежит этому подмножеству.

2°. Если элемент х принадлежит подмножеству любое вещественное число, то и элемент принадлежит подмножеству

Убедимся в том, что подмножество удовлетворяющее требованиям 1° и 2°, само является линейным пространством. Достаточно убедиться в справедливости для элементов подмножества аксиом из определения линейного пространства. Все указанные аксиомы, кроме аксиом 3° и 4°, заведомо справедливы для элементов подмножества поскольку они справедливы для всех элементов пространства Остается проверить выполнение аксиом 3° и Пусть х — любой элемент подмножества любое вещественное число. Тогда в силу требования 2° элемент также принадлежит Остается заметить, что (в силу теоремы 2.2) этот элемент при превращается в нулевой элемент пространства а при превращается в противоположный для х элемент. Таким образом, подмножеству принадлежит нулевой элемент и противоположный (для каждого элемента х) элемент, а это и означает, что для элементов подмножества справедливы аксиомы 3° и 4°. Тем самым полностью доказано, что подмножество само является линейным пространством.

Определение. Подмножество линейного пространства удовлетворяющее требованиям 1° и 2°, называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства

Простейшими примерами подпространств могут служить:

1) так называемое нулевое подпространство, т. е. подмножество линейного пространства состоящее из одного нулевого элемента; 2) все пространство (которое, конечно, можно рассматривать как подпространство).

Оба эти подпространства принято называть несобственными.

Укажем примеры подпространств более содержательного вида.

Пример 1. Подмножество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа в линейном пространстве всех функций определенных и непрерывных на сегменте (справедливость для элементов подмножества требований 1° и 2° не вызывает сомнений).

Пример 2. Подмножество всех свободных векторов, параллельных некоторой плоскости, в линейном пространстве всех свободных векторов (справедливость для элементов требований 1° и 2° очевидна).

Пример 3. Пусть — совокупность элементов некоторого линейного пространства Линейной оболочкой элементов будем называть совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т. е. множество элементов вида

где — какие угодно вещественные числа.

Договоримся обозначать линейную оболочку элементов символом .

Для линейной оболочки произвольных элементов линейного пространства очевидно, выполняются требования 1° и 2°, сформулированные в начале настоящего пункта. Поэтому всякая линейная оболочка является подпространством основного линейного пространства Это подпространство, очевидно, содержит элементы на которых построена линейная оболочка . С другой стороны, всякое подпространство, содержащее элементы обязано содержать и все линейные комбинации этих элементов. Поэтому линейная оболочка элементов является наименьшим подпространством, содержащим элементы

Конкретным примером линейной оболочки может служить линейная оболочка элементов линейного пространства всех функций определенных и непрерывных на сегменте . Эта линейная оболочка, очевидно, представляет собой множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей

Другие примеры подпространств будут рассмотрены в настоящего параграфа.

Рассмотрим вопрос о размерности подпространства (и, в частности, линейной оболочки).

Можно утверждать, что размерность любого подпространства n-мерного линейного пространства не превосходит размерности пространства (ибо всякая линейно независимая система элементов подпространства является одновременно линейно независимой системой элементов всего пространства

Более точно можно утверждать, что если подпространство не совпадает со всем n-мерным линейным пространством то размерность строго меньше

Это вытекает из того, что если размерности и обе равны то всякий базис подпространства поскольку он состоит из элементов, является (в силу теоремы 2.5) базисом и всего пространства

Заметим, что если во всем пространстве выбран базис базисные элементы подпространства вообще говоря, нельзя выбирать из числа элементов (ибо в общем случае ни один из элементов может не принадлежать Однако справедливо обратное утверждение: если элементы составляют базис -мерного подпространства n-мерного линейного пространства то этот базис можно дополнить элементами пространства так, что совокупность элементов будет составлять базис всего пространства

Докажем это утверждение. Если то найдется элемент пространстаа такой, что элементы линейно независимы (в противном случае пространство оказалось бы -мерным). Далее, если то найдется элемент пространства такой, что элементы линейно независимы (в противном случае пространство оказалось бы -мерным). Продолжая аналогичные рассуждения, мы докажем сформулированное утверждение.

В заключение докажем важную теорему о размерности линейной оболочки.

Теорема 2.8. Размерность линейной оболочки элементов равна максимальному числу линейно независимых элементов в системе элементов . В частности, если элементы линейно независимы, то размерность линейной оболочки равна числу элементов (а сами эти элементы образуют базис линейной оболочки ).

Доказательство. Допустим, что среди элементов имеется линейно независимых элементов (обозначим их через ), а любые из элементов линейно зависимы. Тогда каждый из элементов представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов

и поскольку по определению каждый элемент линейной оболочки представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов то каждый элемент указанной линейной оболочки представляет собой некоторую линейную комбинацию одних только элементов . Но это и означает, что система линейно независимых элементов образует базис линейной оболочки и что размерность равна Теорема доказана.