Главная > Линейная алгебра
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гамильтона—Кэли.

Рассмотрим самосопряженный оператор А и собственные значения этого оператора. При этом ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, отвечающих Пусть . Тогда

(см. п. 3 § 2 гл. 4), а так как , то с помощью (5.68) получаем

Оператор определяемый соотношением

называется проектором на одномерное подпространство, порожденное вектором

Из свойств скалярного произведения сразу же следует, что — самосопряженный линейный оператор.

Отметим следующие важные свойства проекторов:

(отсюда следует, что где — натуральное).

Доказательство этих свойств следует из соотношений

Заметим также, что непосредственно из определения (5.70) следует, что коммутирует с каждым оператором, который коммутирует с А.

Из соотношений (5.68), (5.69) и (5.70) получаем следующие выражения для

Из равенства (5.71) следует, что оператор является тождественным:

Из равенства (5.72) получаем так называемое спектральное разложение самосопряженного оператора:

Из свойств 1° и 2° проекторов и из соотношения (5.74) вытекает следующее выражение для

Очевидно, вообще для любого целого положительного

Рассмотрим произвольный полином По определению считают . Обращаясь к соотношению (5.75), легко получить следующее выражение для :

Докажем следующую теорему.

Теорема 5.23 (теорема Гамильтона—Кэли) Если А — самосопряженный оператор и — характерический многочлен этого оператора, то

Доказательство. Действительно, если А — самосопряженный оператор и — собственные значения этого оператора, то, согласно теореме является корнем характеристического уравнения, т. е. . Отсюда и из соотношения (5.76) следует, что . Теорема доказана.

1
Оглавление
email@scask.ru