5. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гамильтона—Кэли.

Рассмотрим самосопряженный оператор А и собственные значения этого оператора. При этом — ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, отвечающих Пусть . Тогда

(см. п. 3 § 2 гл. 4), а так как , то с помощью (5.68) получаем

Оператор определяемый соотношением

называется проектором на одномерное подпространство, порожденное вектором

Из свойств скалярного произведения сразу же следует, что — самосопряженный линейный оператор.

Отметим следующие важные свойства проекторов:

(отсюда следует, что где — натуральное).

Доказательство этих свойств следует из соотношений

Заметим также, что непосредственно из определения (5.70) следует, что коммутирует с каждым оператором, который коммутирует с А.

Из соотношений (5.68), (5.69) и (5.70) получаем следующие выражения для

Из равенства (5.71) следует, что оператор является тождественным:

Из равенства (5.72) получаем так называемое спектральное разложение самосопряженного оператора:

Из свойств 1° и 2° проекторов и из соотношения (5.74) вытекает следующее выражение для

Очевидно, вообще для любого целого положительного

Рассмотрим произвольный полином По определению считают . Обращаясь к соотношению (5.75), легко получить следующее выражение для :

Докажем следующую теорему.

Теорема 5.23 (теорема Гамильтона—Кэли) Если А — самосопряженный оператор и — характерический многочлен этого оператора, то

Доказательство. Действительно, если А — самосопряженный оператор и — собственные значения этого оператора, то, согласно теореме является корнем характеристического уравнения, т. е. . Отсюда и из соотношения (5.76) следует, что . Теорема доказана.