6. Положительные операторы. Корни m-й степени из оператора.
Самосопряженный оператор А называется положительным, если для любого х из V справедливо соотношение
Если оператор А — положительный и из условия 
следует, что 
то А называется положительно определенным оператором.
Положительные и положительно определенные операторы соответственно обозначаются символами 
Отметим следующее простое утверждение.
Каждое собственное значение положительного (положительно определенного) оператора неотрицательно (положительно).
Это утверждение следует из простых рассуждений.
Пусть 
— собственное значение оператора А. Тогда, согласно лемме 
этого параграфа, можно указать такой элемент 
что 
Отсюда и из соотношения (5.77) получаем, что 
для положительных операторов и 
для положительно определенных операторов. Утверждение доказано.
Введем понятие корня 
степени 
— натуральное число) из оператора.
Определение. Корнем 
степени из оператора А называется оператор В такой, что 
Корень 
степени из оператора А обозначается символом 
.
Естественно выделить какой-либо класс операторов, для которых имела бы смысл операция нахождения корня 
степени. Определенный ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Теорема 5.24. Пусть А — положительный самосопряженный оператор, 
Тогда для любого натурального 
существует положительный самосопряженный оператор 
Доказательство. Обозначим через Я — собственные значения оператора А, и пусть 
— ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим далее через 
— проектор на одномерное подпространство, порожденное вектором
Согласно предыдущему пункту имеет место спектральное разложение (5.74) самосопряженного оператора А:
Так как 
(см. только что доказанное утверждение), то можно ввести следующий самосопряженный оператор В;
Согласно (5.70) справедливо соотношение
из которого следует положительность операторов 
и положительность оператора В (см. (5.78)).
(см. п. 5 этого параграфа) вытекает, что 
Сравнивая это выражение для 
с выражением (5.74) для А, получим 
Выше была установлена положительность оператора В. Теорема доказана.
.
собственных векторов оператора А матрица оператора 
имеет следующий вид:
