ГЛАВА 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

В этой главе изучаются билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве, т. е. числовые функции двух векторных аргументов, линейные по каждому из этих аргументов. Подробно исследуются так называемые квадратичные формы, представляющие собой билинейные формы, определенные для совпадающих значений их аргументов. Рассматриваются также некоторые приложения теории билинейных и квадратичных форм.

§ 1. Билинейные формы

1. Понятие билинейной формы.

Понятие билинейной формы в произвольном линейном пространстве было введено нами ранее в главе 5. Однако для удобства изложения в этом пункте мы напомним некоторые определения и простейшие утверждения.

Определение 1. Числовая функция аргументами которой являются всевозможные векторы х и у вещественного линейного пространства называется билинейной формой, если для любых векторов из и любого вещественного числа К выполняются соотношения

Иными словами, билинейная форма представляет собой числовую функцию двух векторных аргументов х и у, определенную на всевозможных векторах х и у вещественного линейного пространства и линейную по каждому из этих аргументов.

Простейшим примером билинейной формы может служить произведение двух линейных форм , определенных на векторах х и у линейного пространства

Определение 2. Билинейная форма называется симметричной (кососимметричной), если для любых векторов х и у линейного пространства выполняются соотношения

Справедливо следующее утверждение: любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейных форм (см. п. 1 § 9 гл. 5).