3. Разложение n-мерного евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.

Пусть — произвольное подпространство n-мерного евклидова пространства Е.

Совокупность всех элементов у пространства Е, ортогональных к каждому элементу х подпространства называется ортогональным дополнением подпространства

Заметим, что ортогональное дополнение само является подпространством (ибо из ортогональности каждого из элементов элементу х, очевидно, вытекает, что и любая линейная комбинация элементов ортогональна элементу х).

Докажем, что всякое n-мерное евклидово пространство Е представляет собой прямую сумму своего произвольного подпространства и его ортогонального дополнения

Выберем в произвольный ортонормированный базис . В силу доказанного в § 3 гл. 2 этот базис можно дополнить элементами пространства Е до базиса во всем Е. Произведя процесс ортогонализации элементов мы получим ортонормированный базис всего пространства Е. Разложив произвольный элемент пространства Е по этому базису, т. е. представив его в виде хпеп, мы получим, что этот элемент х однозначно представим в виде где совершенно определенный элемент а хпеп — совершенно определенный элемент ортогонального дополнения (каждый элемент ортогонален к любому из элементов а потому ортогонален любому элементу поэтому и линейная комбинация ортогональна к любому элементу т. е. является совершенно определенным элементом