2. Выражение определителя непосредственно через его элементы.

Установим формулу, выражающую определитель порядка непосредственно через его элементы (минуя миноры).

Пусть каждое из чисел принимает одно из значений причем среди этих чисел нет совпадающих (в таком случае говорят, что числа являются некоторой перестановкой чисел Образуем из чисел все возможные пары и будем говорить, что пара образует беспорядок, если при . Общее число беспорядков, образованных всеми парами, которые можно составить из чисел обозначим символом

С помощью метода индукции установим для определителя порядка (1.11) следующую формулу:

(суммирование в этой формуле идет по всем возможным перестановкам чисел число этих перестановок, очевидно, равно

В случае формула (1.28) элементарно проверяется (в этом случае возможны только две перестановки 1,2 и , поскольку формула (1.28) переходит в равенство

С целью проведения индукции предположим, что формула (1.28) при справедлива для определителя порядка

Тогда, записав разложение определителя порядка (1.11) по первому столбцу:

мы можем, в силу предположения индукции, представить каждый минор порядка в виде

(суммирование идет по всем возможным перестановкам чисел, в качестве которых берутся все натуральные числа от 1 до за исключением числа

Так как из чисел кроме пар, образованных из чисел можно образовать еще только следующие пары и поскольку среди чисел найдется ровно чисел, меньших числа то

Отсюда вытекает, что и, вставляя (1.30) в (1.29), мы в точности получим формулу (1.28). Тем самым вывод формулы (1.28) завершен.

В заключение заметим, что в большинстве курсов линейной алгебры формула (1.28) положена в основу понятия определителя порядка.