2. Полуторалинейные формы в евклидовом пространстве. Специальное представление таких форм.

Введем понятие полуторалинейной формы в линейном пространстве

Определение. Числовая функция аргументами которой являются всевозможные векторы х и у линейного пространства называется полуторалинейной формой, если для любых векторов из и любого комплексного числа к выполняются соотношения

Иными словами, полуторалинейная форма представляет собой числовую функцию двух векторных аргументов определенную на всевозможных векторах х и у линейного пространства линейную по первому аргументу х и антилинейную по второму аргументу у

Замечание 1. Если линейное пространство является вещественным, то полуторалинейные формы переходят в так называемые билинейные формы, т. е. формы, линейные по каждому из аргументов (четвертое из соотношений (5.43) в силу вещественности А будет характеризовать линейность и по второму аргументу). Билинейные формы изучаются в главе 7.

Обратимся к полуторалинейной форме, заданной в евклидовом пространстве V. Справедлива следующая теорема о специальном представлении такой формы.

Теорема 5.11. Пусть — полуторалинейная форма в евклиоовом пространстве V. Тогда существует единственный линейный оператор А из такой, что

Доказательство. Пусть у — любой фиксированный элемент пространства V. Тогда представляет собой линейную форму аргумента х. Поэтому по лемме предыдущего пункта можно указать такой однозначно определенный элемент А пространства V, что

Итак, каждому у из V по правилу (5.45) ставится в соответствие единственный элемент Л из V. Таким образом, определен оператор А такой, что Линейность этого оператора элементарно следует из свойств (5.43) полуторалинейной формы и из свойств скалярного произведения.

Докажем единственность оператора А.

Пусть — два оператора таких, что с помощью этих операторов форма может быть представлена в виде (5.44). Очевидно, для любых х и у справедливо соотношение из которого следует равенство Полагая в этом равенстве и используя определение нормы элемента, найдем

Таким образом, для любого у из V имеет место равенство Теорема доказана.

Следствие. Пусть — полуторалинейная форма в евклидовом пространстве V. Тогда существует единственный линейный оператор А из такой, что

Справедливость следствия вытекает из следующих рассуждений. Во-первых, форма является полуторалинейной (это следует из того, что — полуторалинейная форма и из определения такой формы). Далее, по теореме 5.11 получаем для представление в виде

Так как сопряженное значение от равно то, беря сопряженное значение левой и правой частей (5.47) и учитывая равенство получим

Но (см. гл. 4, § 3, п. 1). Поэтому из (5.48) получаем равенство . Следствие доказано.

Замечание 2. Теорема 5.11 и следствие из этой теоремы справедливы и для случая вещественного евклидова пространства. В этом случае в формулировке теоремы и следствия термин «полуторалинейная форма» надо заменить термином «билчнейная форма». См. также замечание 1.

Введем понятие матрицы полуторалинейной формы в данном базисе

Пусть принадлежат — разложения х и у по базису Из определения полуторалинейной

формы следуют соотношения

Полагая

запишем выражение (5.49) для в следующей форме:

Матрица называется матрицей полуторалинейной формы в базисе

Справедливо следующее утверждение:

Пусть полуторалинейная форма представлена в виде (5.46)

Пусть далее элементы матрицы А оператора А в данном ортонормированном базисе равны а). Тогда в этом базисе Для доказательства обратимся к выражению (5.50) для коэффициентов полуторалинейной формы. Преобразуем правую часть (5.50) с помощью (5.46). Получим, согласно (5.13),

Так как базис ортонормированный, то если и Поэтому из всех слагаемых последней суммы отличным от нуля будет лишь то, которое получается при Таким образом, Утверждение доказано.

Замечание 3. Если полуторалинейная форма представлена в виде и элементы матрицы А оператора А в данном ортонормированном базисе равны а), то в этом базисе