4. Заключительные замечания о решении линейных систем.

Развитые в предыдущих пунктах методы решения линейных систем упираются в необходимость вычисления ранга матрицы и нахождения ее базисного минора. После того как базисный минор найден, решение сводится к технике вычисления определителей и к использованию формул Крамера.

Для вычисления ранга матрицы можно использовать следующее правило: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков; при этом, если уже найден отличный от нуля минор М порядка то требуют вычисления лишь миноры порядка окаймляющие этот минор М; в случае равенства нулю всех окаймляющих миноров порядка ранг матрицы равен

Укажем и другое правило вычисления ранга матрицы. Заметим, что со строками (столбцами) матрицы можно производить три элементарные операции, не изменяющие ранга этой матрицы: 1) перестановку двух строк (или двух столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на любой отличный от нуля множитель, 3) прибавление к одной строке (столбцу) произвольной линейной комбинации других строк (столбцов)

Будем говорить, что матрица содержащая строк и столбцов, имеет диагональный вид, если равны нулю все ее элементы, отличные от где Ранг такой матрицы, очевидно, равен

Убедимся в том, что посредством трех элементарных операций любую матрицу

можно привести к диагональному виду (что и позволяет вычислить ее ранг).

В самом деле, если все элементы матрицы (3.31) равны нулю, то эта матрица уже приведена к диагональному виду. Если же у матрицы (3.31) есть отличные от нуля элементы, то путем перестановки двух строк и двух столбцов можно добиться того, чтобы был отличен от нуля элемент Умножая после этого первую строку матрицы на мы превратим элемент в единицу. Вычитая далее из столбца матрицы (при ) первый столбец, умноженный на а затем вычитая из строки (при первую строку, умноженную на мы получим вместо (3.31) матрицу следующего вида:

Совершая уже описанные нами операции с матрицей, взятой в рамку, и продолжая действовать аналогичным способом, мы после конечного числа шагов получим матрицу диагонального вида.

Изложенные в предыдущих пунктах методы решения линейных систем, использующие в конечном итоге аппарат формул Крамера, могут привести к большим погрешностям в случае, когда значения коэффициентов уравнений и свободных членов заданы приближенно или когда производится округление этих значений в процессе вычислений. В первую очередь это относится к случаю, когда матрица, отвечающая основному определителю (или базисному минору), является плохо обусловленной (т. е. когда «малым» изменениям элементов этой матрицы отвечают «большие» изменения элементов обратной матрицы). Естественно, что в этом случае решение линейной системы будет неустойчивым (т. е. «малым» изменениям значений коэффициентов уравнений и свободных членов будут отвечать «большие» изменения решения). Отмеченные обстоятельства приводят к необходимости разработки как других (отличных от формул Крамера) теоретических алгоритмов отыскания решения, так и численных методов решения линейных систем.

В § 4 главы 4 мы познакомимся сметодом регуляризации А. Н. Тихонова отыскания так называемого нормального (т. е. наиболее близкого к началу координат) решения линейной системы.

В главе 6 будут изложены основные сведения о так называемых итерационных методах решения линейных систем, позволяющих решать эти системы при помощи последовательных приближений неизвестных.