4. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств.

Пусть — два подпространства линейного -мерного пространства

Определение. Будем говорить, что пространство представляет собой прямую сумму подпространстве , если

каждый элемент х пространства может быть единственным способом представлен в виде суммы

элемента подпространства и элемента подпространства

Тот факт, что представляет собой прямую сумму и символически записывают так:

Последнее равенство обычно называют разложением пространства в прямую сумму подпространств и

Так пространство всех свободных векторов (в трехмерном пространстве) можно разложить в прямую сумму подпространства всех векторов, параллельных плоскости и подпространства всех векторов, параллельных оси

Теорема 2.10. Для того чтобы n-мерное пространство представляло собой прямую сумму подпространств достаточно, чтобы пересечение содержало только нулевой элемент и чтобы размерность была равна сумме размерностей подпространств

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве и некоторый базис в подпространстве Докажем, что объединение этих базисов

представляет собой базис всего пространства Так как по условию теоремы размерность всего пространства равна сумме размерностей то достаточно (в силу теоремы 2.5) доказать линейную независимость элементов (2 20).

Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов (2.20) представляет собой нулевой элемент, т. е. справедливо равенство

или

Так как левая часть (2.22) является элементом а правая — элементом а пересечение и содержит лишь нулевой элемент, то как левая, так и правая часть (2.25) представляет собой нулевой элемент, а это (на основании линейной независимости элементов каждого из базисов возможно лишь при условии

Тем самым мы установили, что равенство (2.21) возможно лишь при условии (2.23), а это и доказывает линейную независимость элементов (2.20) и тот факт, что элементы (2.20) образуют базис всего пространства

Пусть теперь х — любой элемент Разложив его по базису (2.20), будем иметь или где — элемент

— элемент

Остается доказать, что представление (2.19) является единственным. Предположим, что, кроме (2.19), справедливо и еще одно представление

где элемент — элемент Вычитая (2.24) из (2.19), получим, что или Так как в левой части последнего равенства стоит элемент а в правой — элемент и поскольку пересечение содержит лишь нулевой элемент, то из этого равенства следует, что Теорема доказана.

Замечание. В случае, когда пространство представляет собой не прямую, а обычную сумму подпространств представление (2.19) любого элемента х пространства также справедливо, но не является, вообще говоря, единственным.

Пусть, например, представляет собой трехмерное пространство всех свободных векторов, — подпространство всех векторов, параллельных плоскости — подпространство всех векторов, параллельных плоскости В предыдущем пункте мы выяснили, что представляет собой сумму (но, конечно, не прямую сумму) подпространств Обозначим через к базисные векторы, параллельные осям соответственно, и разложим произвольный элемент х пространства по базису . Найдутся вещественные числа такие, что так что, с одной стороны, где элемент — элемент с другой стороны, — элемент — элемент