§ 8. Канонический вид линейных операторов

В этом параграфе рассматривается вопрос о выборе для заданного линейного оператора специального базиса, в котором матрица этого оператора имеет простейший вид, называемый жордановой формой матрицы.

Введем понятие присоединенного элемента оператора А.

Определение. Элемент х называется присоединенным элементом оператора А, отвечающим собственному значению к, если для некоторого целого выполняются соотношения

При этом число называется порядком присоединенного элемента х.

Иными словами, если х — присоединенный элемент порядка то элемент является собственным вектором оператора А.

В этом параграфе мы докажем следующую основную теорему. Теорема 5.32. Пусть А — линейный оператор, действующий в n-мерном евклидовом пространстве V. Существует базис

образованный из собственных и присоединенных векторов оператора А, в котором действие оператора А описывается следующими соотношениями:

Прежде чем перейти к доказательству, сделаем ряд замечаний.

Замечание I. Очевидно, векторы базиса (5.95) являются собственными векторами оператора А, отвечающими собственным значениям

Из определения присоединенных векторов и соотношений (5.96) следует, что векторы являются присоединенными векторами порядка отвечающими собственным значениям соответственно.

Замечание 2. Обращаясь к формулам (5.13) и (5.12), мы видим, что соотношения (5.96) действительно определяют действие оператора А в пространстве V при заданном базисе

Замечание 3. Матрица А линейного оператора А в базисе имеет следующий «клеточный» вид:

где клетка представляет собой следующую матрицу:

Замечание 4. Форма (5.97) матрицы А линейного оператора А называется жордановой формой матрицы этого оператора. При этом клетка обычно называется жордановой клеткой матрицы А. Отметим, что теорему 5.32 о приведении матрицы оператора к простейшему виду (5.97) называют теоремой о приведении матрицы оператора к жордановой форме.

Замечание 5. Жорданова форма матрицы (5.97) определена с точностью до порядка расположения клеток Л по диагонали матрицы. Этот порядок зависит от порядка нумерации собственных значений

Мы дадим доказательство теоремы 5.32, предложенное А. Ф. Филипповым

Доказательство теоремы 5.32. Для доказательства теоремы применим метод индукции. При утверждение теоремы очевидно. Пусть и теорема верна для пространств размерности меньше . Докажем, что при этом предложении она верна и для пространств размерности . Этим и будет завершено доказательство теоремы.

Пусть — собственное значение оператора А. Согласно теореме 5.8 это число является корнем характеристического уравнения Следовательно, ранг линейного оператора

меньше

Линейный оператор В отображает пространство V на подпространство . Поэтому оператор В отображает подпространство размерности в это же подпространство. По предположению индукции в есть базис

в котором действие оператора В из дается следующими соотношениями:

Таким образом, в этом базисе матрица В оператора В, действующего из имеет следующий клеточный вид:

Пусть лишь первые собственных значений оператора В равны нулю.

Так как ранг каждой клетки (см. (5.102)), для которой равен ранг клетки, для которой Ф 0, равен то, согласно (5.100), ранг матрицы В равен

Поэтому размерность подпространства равна представляет собой линейную оболочку векторов Эти векторы в силу линейной независимости образуют базис в Очевидно, Дополним базис до базиса в векторами (размерность по теореме 5.1 равна , т. е. равна

Так как

Обратимся теперь к векторам Поскольку эти векторы принадлежат , то существуют такие векторы , что

Докажем теперь, что векторы

линейно независимы.

Рассмотрим следующую равную нулю линейную комбинацию этих векторов:

Рассмотрим действие оператора В на этот элемент

Получим согласно (5.101), (5.103) и (5.104), следующее выражение

Соотношение (5.107) представляет собой равную нулю линейную комбинацию базисных векторов поэтому коэффициенты при этих векторах в указанной линейной комбинации равны нулю. Поскольку при то из (5.107) следует, что коэффициенты при в точности равны у, и поэтому Отсюда и из соотношения (5.106) получаем равенства

из которых следует, что вектор представляющий собой линейную комбинацию векторов принадлежит (напомним, что векторы составляют часть базиса в .

С другой стороны, из (5.108) вытекает, что представляет собой линейную комбинацию векторов , т. е. принадлежит Следовательно, принадлежит (напомним, что есть пересечение , и поэтому

Так как линейные оболочки наборов векторов 1 и имеют общим лишь нулевой элемент (эти наборы вместе образуют базис в , как мы установили, принадлежит каждой из упомянутых линейных оболочек, то Но тогда из (5.108) следует, что

Итак, все коэффициенты в линейной комбинации (5.106) векторов (5.105) равны нулю, т. е. векторы (5.105) линейно независимы.

Общее число векторов (5.105) равно Так как (это было установлено выше в доказательстве при введении векторов то общее число векторов (5.105) равно и поэтому они образуют базис в V. Обозначим

и запишем векторы этого базиса в следующей последовательности серий:

Рассмотрим действие оператора В на векторы базиса (5.110) в пространстве V. Обращаясь к соотношениям (5.101), (5.103), (5.104) и (5.109), убедимся, что действие В в базисе (5.110) дается соотношениями

и соотношениями (5 101).

Итак, в базисе (5.110) оператор действует правилу (5.96), указанному в формулировке теоремы 5.

Но тогда в этом базьсе и оператор действует этому же правилу. Теорема доказана.