4. Смежные классы. Нормальные делители.

Пусть — произвольные подмножества группы

Произведением подмножеств назовем подмножество состоящее из всех элементов вида где

Для произведения подмножеств используется обозначение

Рассмотрим случай, когда состоит из одного элемента Тогда, согласно (9.2), произведение можно записать в виде Отметим, что если подмножества являются подгруппами группы то их произведение вообще говоря, не является подгруппой.

Пусть — подгруппа группы а — элемент группы Множество называется левым смежным классом, а множество — правым смежным классом подгруппы Н в

Конечно при выборе другого элемента вместо а правые и левые классы подгруппы Я в вообще говоря, изменяются.

Отметим следующие свойства смежных классов (эти свойства формулируются лишь для левых смежных классов; для правых смежных классов они формулируются аналогично):

1° .

2°. Смежные классы и совпадают, если .

3°. Два смежных класса одной подгруппы Я либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

4°. Если — смежный класс, то

Первое из отмеченных свойств очевидно. Убедимся в справедливости свойства 2°. Так как, согласно 1°, то, поскольку аагх имеем Тем самым свойство 2° установлено.

Перейдем к доказательству третьего свойства. Очевидно, достаточно доказать, что если смежные классы и имеют общий элемент, то они совпадают.

Пусть элементы такие, что

(равенство (9.3) означает, что классы и имеют общий элемент). Поскольку Я — подгруппа группы то элемент принадлежит Я. Отсюда и из (9.3) получаем

Следовательно, согласно свойству 2°, Свойство 3° доказано.

Свойство 4° следует из того, что подгруппа Я содержит единичный элемент и поэтому

Пусть — подгруппа для которой все левые смежные классы одновременно являются правыми смежными классами. В этом случае для любого элемента а должно иметь место соотношение

Действительно, согласно свойству 4°, элемент . С другой стороны, класс является одновременно некоторым классом который, очевидно (в силу того, что а совпадает с множеством На.

Подгруппа Н, для которой все левые смежные классы являются правыми смежными классами, называется нормальным делителем группы

Справедливо следующее утверждение:

Если Н — нормальный делитель группы то произведение смежных классов представляет собой также смежный класс.

Действительно, пусть и — смежные классы. Тогда по определению произведения смежных классов как подмножеств группы с учетом (9.4), получим

т. е. произведение смежных классов есть смежный класс .