2. Нетривиальная совместность однородной системы.

Начнем с рассмотрения однородной линейной системы вида (3.1), т. е. системы

Сразу же отметим, что эта система всегда совместна, ибо она всегда обладает так называемым тривиальным (или нулевым) решением

Возникает вопрос о том, при каких условиях однородная система (3.7) имеет, кроме указанного тривиального решения, еще и другие решения (т. е. является «нетривиально совместной»).

Этот вопрос решается довольно просто. Заметим, что существование нетривиального решения системы (3.7) эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы (3.2) (ибо линейная зависимость столбцов матрицы (3.2) означает, что существуют числа не все равные нулю и такие, что справедливы равенства

Но в силу теоремы 1.6 о базисном миноре линейная зависимость столбцов матрицы будет иметь место тогда и только тогда, когда не все столбцы этой матрицы являются базисными, т. е. тогда и только тогда, когда порядок базисного минора матрицы (3.2) меньше числа ее столбцов.

Мы приходим к следующей теореме.

Теорема 3.1. Однородная система (3.7) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы (3.2) меньше числа ее столбцов.

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю.

В самом деле, в случае квадратной однородной системы (3.7), т. е. при ранг матрицы (3.2) будет меньше числа тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю.