4. Дискриминантный тензор.

Рассмотрим так называемый вполне кососимметрический тензор

типа , т. е. такой тензор, который кососимметричен по любым двум нижним индексам.

Для того чтобы этот тензор не был нулевым, необходимо, чтобы число не превышало , т. е. удовлетворяло условию ибо, если то любая координата будет иметь по меньшей мере два одинаковых индекса, при перестановке которых эта координата одновременно должна и изменить знак, и остаться неизменной Это может быть лишь в том случае, когда указанная координата равна нулю Следовательно, при любая координата тензора равна нулю, т. е. тензор является нулевым.

Особый интерес представляет вполне кососимметрический тензор, ранг которого равен размерности пространства.

Любая координата такого тензора может быть найдена по формуле

В формуле равно 0 или в зависимости от четности или нечетности перестановки называют также знаком этой перестановки).

Рассмотрим какую-либо правую ортонормированную систему координат и положим в ней

С помощью соотношения (8.53) в данной системе координат определяются все координаты вполне кососимметрического тензора, а следовательно, и сам тензор, который в дальнейшем мы будем называть дискриминантным тензором. Координаты этого тензора в произвольном базисе обозначим через

Обозначим символом В матрицу перехода от выбранного правого ортонормированного базиса к некоторому базису а через — элементы этой матрицы.

Согласно (8.53) для вычисления координат дискриминантного тензора в базисе достаточно знать значение координаты

Используя формулу (8.19) преобразования координат тензора и соотношение (8.54), получим, переходя от выбранного ортонормированного базиса к базису

Пусть координаты метрического тензора в базисе Так как матрица есть матрица билинейной формы представляющей собой скалярное произведение векторов лиус координатами то при переходе от данного ортонормированного базиса (в котором матрица Е рассматриваемой билинейной формы является единичной) к базису справедлива формула . Отсюда следует, что

Обозначая через получим из последнего соотношения Обращаясь к соотношениям (8.55), мы получим, что Таким образом, в произвольном базисе выражение для координаты дискриминантного тензора имеет вид

где — определитель матрицы метрического тензора в базисе

Отметим, что в формуле (8.56) знак плюс сбответствует правому базису, а знак минус — левому.