6. Векторное произведение.

С помощью дискриминантного тензора можно записать в трехмерном пространстве в тензорном виде векторное произведение Такая запись широко используется при различных вычислениях в так называемых криволинейных координатах

Пусть — координаты дискриминантного тензора в данном базисе пространства Поднимем у этого тензора первый индекс с помощью метрического тензора т. е. рассмотрим тензор Тогда координаты вектора (т. е. векторного произведения векторов ) в базйсе имеют вид

Так как представляет собой тензор типа , то можно рассматривать как контравариантные координаты вектора. Поэтому, чтобы убедиться, что действительно представляют собой координаты векторного произведения, достаточно обратиться к какой-либо определенной системе координат и непосредственно провести проверку Эта проверка элементарна для ортонормированного базиса и предоставляется читателю.

Соотношение (8.60) может служить основой для введения векторного произведения вектора в

Пусть — какие-либо вектор в Определим координаты векторного произведения с помощью соотношений

В соотношениях — координаты дискриминантного тензора с поднятым первым индексом, а контравариантные координаты векторов