2. Свойства ортонормированного базиса.

Пусть — произвольный ортонормированный базис -мерного евклидова пространства Е, а х и у — два произвольных элемента этого пространства. Найдем выражение скалярного произведения этих элементов через их координаты относительно базиса

Обозначим координаты элементов х и у относительно базиса соответственно через , т. е. предположим, что . Тогда

Из последнего равенства в силу аксиом скалярного произведения и соотношений (4.10) получим

Итак, окончательно,

Таким образом, в ортонормированием базисе скалярное произведение двух любых элементов равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов.

Рассмотрим теперь в -мерном евклидовом пространстве Е совершенно произвольный (вообще говоря, не ортонормированный) базис и найдем выражение скалярного произведения двух произвольных элементов х и у через координаты этих элементов относительно указанного базиса.

Обозначим координаты элементов х и у относительно базиса соответственно через , т. е. предположим, что

Пользуясь аксиомами скалярного произведения, получим

Таким образом, в произвольном базисе скалярное произведение двух любых элементов определяется равенством

в котором матрица имеет элементы

Последнее утверждение приводит к следующему результату: для того чтобы в данном базисе евклидова пространства Е скалярное произведение двух любых элементов было равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов, необходимо и достаточно, чтобы базис был ортонормированным.

В самом деле, выражение (4.14) переходит в (4.13) тогда и только тогда, когда матрица с элементами является единичной, т. е. тогда и только тогда, когда выполнены соотношения

устанавливающие ортонормированность базиса

Вернемся к рассмотрению произвольного ортонормированного базиса -мерного евклидова пространства Е. Выясним смысл координат произвольного элемента х относительно указанного базиса.

Обозначим координаты элемента х относительно базиса через , т. е. предположим, что

Обозначим далее через любой из номеров умножим обе части (4.15) скалярно на элемент На основании аксиом скалярного произведения и соотношений (4.10) получим

Таким образом, координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие базисные элементы.

Поскольку скалярное произведение произвольного элемента х на элемент имеющий норму, равную единице, естественно назвать проекцией элемента х на элементе, то можно сказать, что координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса равны проекциям этого элемента на соответствующие базисные элементы.

Таким образом, произвольный ортонормированный базис обладает свойствами, вполне аналогичными свойствам декартова прямоугольного базиса.