Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространствеВ этом параграфе мы покажем, каким образом определения и результаты предыдущих параграфов переносятся на случай вещественных евклидовых пространств. 1. Общие замечания.Рассмотрим произвольное Понятие линейного оператора для случая вещественного линейного пространства формулируется в полной аналогии с соответствующим понятием для комплексного пространства. Определение 1. Оператор А называется линейным, если для любых элементов
В полной аналогии с комплексным пространством вводится понятие собственного значения и собственного вектора оператора. Важно заметить, что собственные значения являются корнями характеристического уравнения оператора. Обратное утверждение в вещественном случае верно лишь тогда, когда соответствующий корень характеристического уравнения вещественный. Только в этом случае указанный корень будет собственным значением рассматриваемого линейного оператора. В связи с этим естественно выделить какой-либо класс линейных операторов в вещественном евклидовом пространстве, все корни характеристических уравнений которых вещественны. В доказанной выше теореме 5.16 было установлено, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Кроме того, понятие самосопряженного оператора играло важную роль в выводах § 6 настоящей главы о квадратичных формах. Естественно поэтому перенести понятие самосопряженного оператора на случай вещественного пространства. Предварительно введем понятие оператора А, сопряженного к оператору А. Именно, оператор А называется сопряженным к А, если для любых х и у из V выполняется равенство Без затруднений на случай вещественного пространства переносится теорема 5.12 о существовании и единственности сопряженного оператора. Напомним, что доказательство теоремы 5.12 опирается на понятие полуторалинейной формы. В вещественном случае вместо полуторалинейной формы следует воспользоваться билинейной формой По этому поводу в п. 2 § 4 гл. 5 сделано соответствующее замечание. Напомним в связи с этим определение билинейной формы в любом вещественном не обязательно евклидовом линейном пространстве Определение 2. Функция
Важную роль в данном параграфе будет играть специальное представление билинейной формы
где А — некоторый линейный оператор. Соответствующая теорема (теорема 5.11) об аналогичном представлении полуторалинейной формы в комплексном пространстве опиралась на выводы леммы В § 6 настоящей главы были введены эрмитовы формы. Эрмитова форма — это полуторалинейная форма В случае вещественного пространства аналогом эрмитовых форм служат симметричные билинейные формы. Такая форма характеризуется соотношением
Билинейная форма
являются соответственно симметричной и кососимметричной билинейными формами. Поскольку Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейной формы. Нетрудно видеть, что такое представление является единственным. Мы докажем следующую теорему о симметричных билинейных формах (эта теорема служит аналогом теоремы 5.25 об эрмитовых формах). Теорема 5.33. Для того чтобы билинейная форма Доказательство. Если А — самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим
Таким образом, выполняется соотношение (5.114), т. е. билинейная форма Если же форма Следовательно, оператор А самосопряженный. Теорема доказана. Введем понятие матрицы линейного оператора А, Пусть Тогда, как и в комплексном случае, нетрудно показать, что если Матрица Аналогично тому, как это было сделано в § 2 настоящей главы, можно доказать, что величина Характеристическим уравнением, отвечающим оператору А, называется уравнение Докажем теперь теорему о корнях характеристического многочлена самосопряженного оператора в вещественном евклидовом пространстве. Теорема 5.34. Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного оператора А в евклидовом пространстве вещественны. Доказательство. Пусть
Фиксируем в V какой-либо базис Будем искать ненулевое решение следующей системы линейных однородных уравнений относительно
где Так как определитель системы (5.116) равен Подставляя это решение в правую и левую части системы (5.116), учитывая при этом, что
Рассмотрим в данном базисе
Умножим первое из полученных соотношений скалярно на у, а второе — на х. Очевидно, получим равенства
Так как оператор А самосопряженный, то
Но Как и в комплексном случае, для самосопряженного оператора справедливо утверждение о существовании ортонормированного базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора (аналог теоремы 5.21). Докажем это утверждение. Теорема 5.35. У каждого самосопряженного линейного оператора А, действующего в n-мерном вещественном евклидовом пространстве V, существует ортонормированный базис из собственных векторов. Доказательство. Пусть — вещественное собственное значение оператора А, а Обозначим через Следовательно, Обращаясь далее к Рассуждая и дальше таким же образом, мы в результате найдем Замечание. Пусть Отметим, что если Этим вещественный случай отличается от комплексного, поскольку в комплексном случае оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда матрица А этого оператора в ортонормированном базисе является эрмитовой, т. е. элементы Указанное утверждение непосредственно следует из того, что если
|
1 |
Оглавление
|