3. Ортонормированный базис и его свойства.

Элементы х и у произвольного комплексного евклидова пространства будем называть ортогональными, если скалярное произведение этих элементов равно нулю.

Ортонормированным базисом n-мерного комплексного евклидова пространства назовем совокупность его элементов удовлетворяющих соотношениям

(т. е. попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице).

Как и в п. 1 § 2, доказывается, что эти элементы линейно независимы и потому образуют базис.

В полной аналогии с доказательством теоремы 4.3 (т. е. с помощью процесса ортогонализации) устанавливается существование в произвольном -мерном комплексном евклидовом пространстве ортонормированного базиса.

Выразим скалярное произведение двух произвольных элементов х и у -мерного комплексного евклидова пространства через их координаты относительно ортонормированного базиса

Так как

то в силу аксиом и соотношений (4.25) получим

Выразим далее координаты произвольного элемента х относительно ортонормированного базиса

Умножая разложение этого элемента по базису скалярно на и пользуясь соотношениями (4.25), получим (для любого k, равного )

Итак, как и в случае вещественного евклидова пространства, координаты произвольного элемента х относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие базисные элементы.

В полной аналогии с доказательством теоремы 4.4 устанавливается, что все комплексные евклидовы пространства одной и той же размерности изоморфны между собой.