3. Сходимость элементов в группе GL(n). Подгруппы группы GL(n).

В этом и дальнейших пунктах этого параграфа мы будем рассматривать группу в -мерном евклидовом пространстве V.

Введем понятие сходимости в группе

Определение. Последовательность элементов из называется сходящейся к элементу если для любого х из V последовательность сходится к

Понятие сходимости в мы используем ниже при введении так называемых компактных групп.

Рассматривают следующие типы подгрупп группы .

Конечные подгруппы, т. е. подгруппы, содержащие конечное число элементов.

Примером конечной подгруппы может служить подгруппа отражений относительно начала координат, содержащая два элемента — тождественное преобразование и отражение относительно начала (см. пример § 1 этой главы).

2°. Дискретные подгруппы, т. е. подгруппы, содержащие счетное число элементов.

Примером такой подгруппы может служить подгруппа поворотов плоскости около начала координат на углы где — угол, несоизмеримый с

3°. Непрерывные подгруппы, т. е. подгруппы, содержащие более чем счетное число элементов.

Подгруппа всех поворотов трехмерного пространства вокруг фиксированной оси представляет собой пример непрерывной подгруппы.

Среди непрерывных подгрупп группы выделяются так называемые компактные подгруппы, т. е. подгруппы, у которых из любого бесконечного множества ее элементов можно выделить последовательность, сходящуюся к элементу этой подгруппы.