2. Самосопряженные операторы. Основные свойства.

Определение 2. Линейный оператор А из называв ется самосопряженным, если справедливо равенство

Самосопряженный оператор в вещественном пространстве определяется аналогично.

Простейшим примером самосопряженного оператора является тождественный оператор (см. свойство 1° сопряженных операторов в предыдущем пункте).

С помощью самосопряженных операторов можно получить специальное представление произвольных линейных операторов. Именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.13. Пусть А — линейный оператор, действующий в комплексном евклидовом пространстве V. Тогда справедливо представление где и А, — самосопряженные операторы, называемые соответственно действительной и мнимой частью оператора А.

Доказательство. Согласно свойствам 2°, 3° и 4° сопряженных операторов (см. предыдущий пункт этого параграфа) операторы самосопряженные.

Очевидно, . Теорема доказана.

В следующей теореме выясняются условия самосопряженности произведения самосопряженных операторов. Мы будем говорить, что операторы А и В коммутируют, если

Теорема 5.14. Для того чтобы произведение самосопряженных операторов А и В было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали.

Доказательство. Так как А и В — самосопряженные операторы, то, согласно свойству 5° сопряженных операторов (см. п. 1 этого параграфа), справедливы соотношения

Следовательно, если , то , т. е. оператор самосопряженный. Если же — самосопряженный оператор, то и тогда на основании . Теорема доказана.

В дальнейших теоремах устанавливается ряд важных свойств самосопряженных операторов.

Теорема 5.15. Если оператор А самосопряженный, то для любого скалярное произведение — вещественное число.

Доказательство. Справедливость утверждения теоремы вытекает из следующего свойства скалярного произведения

в комплексном евклидовом пространстве и определения самосопряженного оператора

Теорема 5.16. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

Доказательство. Пусть А — собственное значение самосопряженного оператора А. По определению собственного значения оператора А (см. определение 2 § 3 этой главы) существует ненулевой вектор х такой, что Из этого соотношения следует, что вещественное (в силу теоремы 5.15) скалярное произведение может быть представлено в виде

Так как вещественны, то, очевидно, и А — вещественное число. Теорема доказана.

В следующей теореме выясняется свойство ортогональности собственных векторов самосопряженного оператора.

Теорема 5.17. Если А — самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, этого оператора, ортогональны.

Доказательство. Пусть — различные собственные значения самосопряженного оператора — соответственно отвечающие им собственные векторы. Тогда имеют место соотношения Поэтому скалярные произведения соответственно равны следующим выражениям

Так как оператор А самосопряженный, то скалярные произведения равны, и поэтому из последних соотношений путем вычитания получаем равенство

Поскольку то из последнего равенства следует равенство нулю скалярного произведения т. е. ортогональность собственных векторов Теорема доказана.