§ 5. Тензор момента инерции

Рассмотрим твердое тело, закрепленное в точке О. Пусть — радиус-вектор точки М этого тела, — скорость точки М.

Как известно, момент импульса определяется соотношением где V — объем тела, — плотность тела).

Обозначая через — контравариантные координаты вектора и используя формулу (8.60) для векторного произведения, получим

(напомним, что где — координаты дискриминантного тензора в данном базисе пространства см п. 6 § 3 этой главы).

По теореме Эйлера существует мгновенная ось вращения тела Обозначая через вектор мгновенной угловой скорости, получим Снова обращаясь к формуле (8.60) для векторного произведения, найдем

Подставляя найденное выражение в правую часть (8.81) и учитывая независимость от переменных интегрирования, получим следующее выражение для

Тензор

фигурирующий в правой части соотношений (8.83), называется тензором момента инерции.

Преобразуем выражение (8.84) для тензора момента инерции. Для этой цели обратимся к формуле (8.65). По этой формуле имеем Поэтому

Если в выражении (8.85) опустить индекс с помощью метрического тензора, то в результате получим часто используемую формулу для координат дважды ковариантного тензора момента инерции:

Тензор момента инерции широко используется в механике твердого тела. Для примера запишем с помощью этого тензора выражение для кинетической энергии Т. Имеем

Но поскольку выражение для Т примет вид

Отсюда, согласно (8.84), найдем