2. Неравенство Коши — Буняковского. Понятие нормы.

Докажем, что для любых двух элементов х и у произвольного комплексного евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского

На основании аксиомы 4° для любого комплексного числа X справедливо неравенство

Так как в силу аксиом и их логических следствий

то неравенство (4.19) принимает вид

Обозначим через аргумент комплексного числа и представим это число втригонометрической форме

Положим теперь комплексное число X равным

где — произвольное вещественное число. Из соотношений (4.21) и (4.22) очевидно, что

Поэтому при выбранном нами X неравенство (4.20) переходит в неравенство

справедливое при любом вещественном Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена, стоящего в левой части (4.23), является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство , эквивалентное неравенству (4.18).

С помощью неравенства Коши—Буняковского (4.18) и рассуждений, полностью аналогичных доказательству теоремы 4.2, устанавливается, что всякое комплексное евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить соотношением

В частности, во всяком комплексном евклидовом пространстве с нормой, определяемой соотношением (4.24), справедливо неравенство треугольника

Замечание. Подчеркнем, что введенное для вещественного евклидова пространства понятие угла между двумя произвольными элементами х и у теряет смысл для комплексного евклидова пространства (вследствие того, что скалярное произведение является, вообще говоря, комплексным числом).