2. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Пусть V — линейное пространство, А — линейный оператор из базиса в V и

— формулы перехода от базиса к базису Обозначим через матрицу

Отметим, что Пусть

— матрицы оператора А в указанных базисах. Найдем связь между этими матрицами.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.7. Матрицы А и А оператора А в базисах и соответственно связаны соотношением

где обратная матрица для матрицы определенной равенством (5.17).

Доказательство. Обращаясь к понятию матрицы линейного оператора, получим, согласно (5.18),

Из определения линейного оператора, из формул (5.16) и из второй из формул (5.19) следуют соотношения

Поэтому справедливо равенство

Подставляя в левую часть этого равенства выражение по первой из формул (5.19), найдем

Так как — базис, то из последнего соотношения вытекают равенства

Если обратиться к матрицам (см. (5.17) и (5.18)), то соотношения (5.20) эквивалентны следующему матричному равенству: .

Умножая обе части этого равенства слева на матрицу получим требуемое соотношение

Теорема доказана.

Замечание 1. Обратимся к формуле . Умножая обе части этого матричного равенства слева на матрицу и справа на получим соотношение

представляющее собой другую форму связи между матрицами А и А линейного оператора А в разных базисах.

Замечание 2 Пусть А и В — квадратные матрицы порядка и В — отвечающие им линейные операторы в заданном базисе Как уже отмечалось (см замечание 3 предыдущего пункта) матрице отвечает линейный оператор Выясним вид матрицы этого оператора в базисе Пусть А и В — матрицы операторов А и В в базисе Тогда, согласно (5 21), имеем

Матрица линейного оператора в базисе имеет, согласно (5.21), следующий вид: Используя распределительное свойство умножения матриц, перепишем последнюю формулу следующим образом (напомним, что эта формула представляет собой матрицу линейного оператора в базисе

Обращаясь к соотношениям (5.22), видим, что матрица оператора в базисе записывается следующим образом:

В частности, если В — единичная матрица, то (см. замечание 2 предыдущего пункта и теорему 5.5), и поэтому

матрица линейного оператора в базисе имеет вид

Следствие из теоремы

В самом деле, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то из равенства следует, что

Поскольку то из соотношения (5.23) получаем равенство Таким образом, определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Поэтому можно ввести понятие определителя линейного оператора А, полагая

где А — матрица линейного оператора А в любом базисе.