2. Примеры тензоров.

1. Нуль-тензор. Среди тензоров типа следует выделить так называемый нуль-тензор. Это тензор, координаты которого в любом базисе равны нулю. Очевидно, соотношения (8.19) выполняются.

Отметим, что если координаты тензора А равны нулю в каком-либо базисе, то, согласно (8 19), они равны нулю в любом базисе, и, следовательно, А — нуль-тензор.

2°. Символ Кронекера. Убедимся, что тензор А типа , имеющий в базисе координаты будет иметь в базисе координаты

Итак, пусть А — тензор, имеющий в данном базисе координаты Для того чтобы найти координаты этого тензора в базисе надо воспользоваться формулами (8.19), т. е. координаты тензора А в базисе равны Используя свойства символа Кронекера, получим

Итак, в новом базисе координаты тензора А действительно равны Поэтому символ Кронекера можно рассматривать как тензор типа .

3°. Пусть — билинейная форма, заданная в конечномерном евклидовом пространстве — какой-либо базис в этом пространстве. Тогда векторы х и у могут быть представлены в виде

Используя линейное свойство формы по каждому аргументу, мы можем записать

Обозначим через

Тогда форма может быть записана следующим образом:

Убедимся, что коэффициенты матрицы формы при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа , т. е. представляют собой тензор типа .

Рассмотрим произвольный базис Запишем в этом базисе форму в виде (8.24) причем

Перейдем от базиса к новому базису Обозначая матрицу перехода от базиса к базису через получим

Подставляя эти выражения для в правую часть (8.25) и используя линейное свойство формы по каждому аргументу, найдем

Согласно формуле (8.23) последнее соотношение можно переписать в виде

Следовательно коэффициенты матрицы билинейной формы преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа и поэтому могут рассматриваться как координаты тензора такого типа.

4°. Каждому линейному оператору, заданному в конечномерном евклидовом пространстве и действующему в то же пространство, можно поставить в соответствие некоторый тензор типа , причем этот тензор будет вполне определять указанный оператор.

Пусть линейный оператор, заданный в - базис. Так как и — линейный оператор, то

Разложим вектор по базису

Подставляя полученное выражение для в (8.26) и используя единственность разложения по базису, получим

Напомним, что соотношения (8.27) можно рассматривать как координатный способ задания линейного оператора. При этом матрицу коэффициентов называют матрицей линейного оператора.

Убедимся, что коэффициенты этой матрицы при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа и поэтому представляют собой тензор

Рассмотрим произвольный базис Запишем в этом базисе линейный оператор в виде (8.27)

Перейдем теперь от к базису

Обозначая матрицу перехода (или, что то же самое, получим (см. п. 3 § 1 этой главы)

Подставим эти выражения для в (8.27). Получим следующие соотношения:

Нам нужно получить из (8.29) выражение для Для этой цели умножим обе части (8.29) на и просуммируем по от 1 до Учитывая, что получим Заметим, что Поэтому Сравнивая это выражение для с выражением для по формуле (8.28), получим следующее тождество, справедливое для любых векторов х (для любых координат

Отсюда и из произвольности следует, что коэффициенты матрицы линейного оператора преобразуются по закону

Итак, коэффициенты преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (1.1) и поэтому представляют такой тензор.