Главная > Линейная алгебра
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Примеры тензоров.

1. Нуль-тензор. Среди тензоров типа следует выделить так называемый нуль-тензор. Это тензор, координаты которого в любом базисе равны нулю. Очевидно, соотношения (8.19) выполняются.

Отметим, что если координаты тензора А равны нулю в каком-либо базисе, то, согласно (8 19), они равны нулю в любом базисе, и, следовательно, А — нуль-тензор.

2°. Символ Кронекера. Убедимся, что тензор А типа , имеющий в базисе координаты будет иметь в базисе координаты

Итак, пусть А — тензор, имеющий в данном базисе координаты Для того чтобы найти координаты этого тензора в базисе надо воспользоваться формулами (8.19), т. е. координаты тензора А в базисе равны Используя свойства символа Кронекера, получим

Итак, в новом базисе координаты тензора А действительно равны Поэтому символ Кронекера можно рассматривать как тензор типа .

3°. Пусть билинейная форма, заданная в конечномерном евклидовом пространстве — какой-либо базис в этом пространстве. Тогда векторы х и у могут быть представлены в виде

Используя линейное свойство формы по каждому аргументу, мы можем записать

Обозначим через

Тогда форма может быть записана следующим образом:

Убедимся, что коэффициенты матрицы формы при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа , т. е. представляют собой тензор типа .

Рассмотрим произвольный базис Запишем в этом базисе форму в виде (8.24) причем

Перейдем от базиса к новому базису Обозначая матрицу перехода от базиса к базису через получим

Подставляя эти выражения для в правую часть (8.25) и используя линейное свойство формы по каждому аргументу, найдем

Согласно формуле (8.23) последнее соотношение можно переписать в виде

Следовательно коэффициенты матрицы билинейной формы преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа и поэтому могут рассматриваться как координаты тензора такого типа.

4°. Каждому линейному оператору, заданному в конечномерном евклидовом пространстве и действующему в то же пространство, можно поставить в соответствие некоторый тензор типа , причем этот тензор будет вполне определять указанный оператор.

Пусть линейный оператор, заданный в - базис. Так как и — линейный оператор, то

Разложим вектор по базису

Подставляя полученное выражение для в (8.26) и используя единственность разложения по базису, получим

Напомним, что соотношения (8.27) можно рассматривать как координатный способ задания линейного оператора. При этом матрицу коэффициентов называют матрицей линейного оператора.

Убедимся, что коэффициенты этой матрицы при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа и поэтому представляют собой тензор

Рассмотрим произвольный базис Запишем в этом базисе линейный оператор в виде (8.27)

Перейдем теперь от к базису

Обозначая матрицу перехода (или, что то же самое, получим (см. п. 3 § 1 этой главы)

Подставим эти выражения для в (8.27). Получим следующие соотношения:

Нам нужно получить из (8.29) выражение для Для этой цели умножим обе части (8.29) на и просуммируем по от 1 до Учитывая, что получим Заметим, что Поэтому Сравнивая это выражение для с выражением для по формуле (8.28), получим следующее тождество, справедливое для любых векторов х (для любых координат

Отсюда и из произвольности следует, что коэффициенты матрицы линейного оператора преобразуются по закону

Итак, коэффициенты преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (1.1) и поэтому представляют такой тензор.

1
Оглавление
email@scask.ru