3. Свойства множества L(V, V) линейных операторов.

Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в И, т. е. изучим подробнее множество

Назовем тождественным (или единичным) оператором линейный оператор действующий по правилу (здесь х — любой элемент V).

Введем понятие произведения линейных операторов из множества

Произведением операторов А и В из называется оператор действующий по правилу

Отметим, что, вообще говоря, .

Справедливы следующие свойства линейных операторов из

Первое из свойств (5.4) следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. (5.2)) и определения произведения операторов (см. (5.3)).

Перейдем к обоснованию свойства 2°. Имеем, согласно (5.1), (5 2) и (5 3),

Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство

Свойство 2° установлено.

Совершенно аналогично доказывается свойство 3°.

Свойство 4° справедливо, поскольку, согласно определению (см (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы и совпадают и, следовательно, тождественны.

Замечание 1. Свойство 4° позволяет определить произведение любого конечного числа операторов из и, в частности, степень оператора А с помощью формулы

Очевидно, справедливо соотношение .

Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из

Определение 1. Линейный оператоа В из называется обратным для оператора А из если выполняется соотношение

Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом

Из определения обратного оператора следует, что для любого справедливо соотношение

Таким образом, если , то , т. е. если оператор А имеет обратный, то из условия следует, что

Мы будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам отвечают различные элементы

Если оператор А действует взаимно однозначно из V в V, то отображение представляет собой отображение V на V, т. е. каждый элемент представляет собой образ некоторого элемента :

Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что линейно независимых элементов пространства V

отображаются посредством оператора А в линейно независимых элементов этого же пространства.

Итак, пусть — линейно независимые элементы V. Если линейная комбинация представляет собой нулевой элемент пространства V:

то из определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что

Так как оператор А действует из взаимнооднозначно, то из последнего соотношения вытекает, что Но элементы линейно независимы.

Поэтому Следовательно, элементы также линейно независимы.

Отметим следующее утверждение.

Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.

Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V. Это означает, что некоторым различным элементам из V отвечает один и тот же элемент Но тогда и поскольку А имеет обратный, Но выше было отмечено, что . Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.

Докажем достаточность этого условия.

Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Тогда каждому элементу отвечает элемент такой, что Поэтому имеется оператор обладающий тем свойством; что Легко убедиться, что оператор линейный. По определению — обратный оператор для оператора А. Достаточность условия утверждения также доказана.

Введем понятия ядра и образа линейного оператора.

Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства V, для которых

Ядро линейного оператора А обозначается символом .

Если то оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Действительно, в этом случае из условия вытекает а это означает, что различным отвечают различные (если бы то и элементы не были бы различны).

Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.

Определение 3. Образом линейного оператора А называется множество веек элементов у пространства V, представимых в виде Образ линейного оператора А обозначается символом .

Замечание 2. Отметим, что если то и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием условие также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.

Замечание 3. Очевидно, ядро и образ — линейные подпространства пространства V. Поэтому можно рассматривать размерности этих подпространств.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.1. Пусть размерность пространства V равна и пусть А — линейный оператор из . Тогда

Доказательство. Так как представляет собой подпространство V, то можно указать такое подпространство пространства V, что V будет представлять собой прямую сумму Согласно теореме Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что

Пусть — базис в . Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из то каждому элементу у из можно поставить в соответствие единственный элемент такой, что . Поэтому в определены элементы такие, что Элементы линейно независимы, ибо если агуг

а так как элементы линейно независимы, то линейно независимы.

Таким образом, в имеется линейно независимых элементов. Следовательно, (напомним, что .

Предположим, что Добавим к линейно независимым элементам элементы так, что образуют базис в Так как , то элементы принадлежащие , линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа такие, что . Отсюда следует, что Так как А действует из взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем

Но — базис в Поэтому

Выше указывалось, что все равны нулю. Следовательно, предположение ведет к противоречию. Таким образом, Теорема доказана.

Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1.

Теорема 5.2. Пусть — два таких подпространства n-мерного пространства V, что . Тогда существует такой линейный оператор А из что

Доказательство. Пусть Выберем в пространстве V базис так, чтобы элементы принадлежали . Далее в пространстве выберем некоторый базис

Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах пространства V следующим образом:

Далее, если то . Очевидно, оператор линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана.

Введем понятие ранга линейного оператора А.

Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом и равное

Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта.

Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из имел обратный необходимо и достаточно, чтобы .

Пусть А и В — линейные операторы из Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения:

Доказательство. Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, Поэтому , т. е.

Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением:

Из этого включения следует, что Из последнего неравенства в свою очередь следует неравенство , а из него, согласно теореме 5.1, получаем , т. е. Теорема доказана.

Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов. Теорема 5.4. Пусть А и В—линейные операторы из и — размерность V. Тогда Доказательство. Согласно теореме 5.1

Так как то из (5.5) получаем

Поскольку, согласно теореме 5.1,

то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство

Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство

из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы.

Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8).

Пусть

Согласно теореме . Поэтому справедливо соотношение

Так как , то в подпространстве можно выбрать базис так, что элементы образуют базис в При таком выборе элементы линейно независимы (если линейная комбинация может быть, в силу выбора лишь при

Поэтому элементы принадлежат . Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.10) вытекает требуемое неравенство (5 8). Теорема доказана.

Следствие из теорем 5.3 и 5.4. Если — размерность , то Указанное следствие вытекает из неравенств

Из этих неравенств получим, что ,

Аналогично доказывается соотношение